→a=k(=12 ∥B 几个有关的定理 定理1m个n维向量a1=(a1,a12,…,a1n),a2=(a21,a2…,a2n)…, an=(am1,am2,;an)线性相关分→以k,k2…,kn为未知量的齐次线性方程组 k=0 k1+a2nk2+…+ ak=0 有非零解(4)向量式是k1a1+k2a2+…+knam=O的坐标表示式) 推论1:n个n维向量a=(a12a12…,an)(i=1,2,…,n) a 线性相关← 21a22 a2n=0 定理2m个n维向量a1,a2,…,an(m>2)线性相关其中必有一个向量是其余 m-1个向量的线性组合。 设a1,a2…am线性相关,则有不全为0的k,k2,…,km使 ka1+k2a2+…+knn=6不妨设k≠0,于是由上式得 k 即a1是a2,a3,…,am的线性组合 设a1是a12a2,…,a1-1,a11…an的线性组合 即a1=k1a1+k2a2+…+k1(1-1+k1+…+knam 于是ka1+…+k-a-1+(-1)a1+ka1+…+knCn=b 因为k1,k2,…,k-1-1,k1…km不完全为0,所以a1,a2,…;am线性相关。 定理3若n维向量a1,a2,…,线性相关,则a1,…an,ar+1,…,am也线性相关。 k b a i i = (i = 1,2,. ,n) ∥ (n 3 时)。 2. 几个有关的定理 定 理 1 m 个 n 维向量 ( , , , ) 1 11 12 1n = a a a , 2 = (a21 ,a22 , ,a2 n ), , ( , , , ) m m1 m2 mn = a a a 线性相关 以 m k , k , ,k 1 2 为未知量的齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 n n mn m m m m m a k a k a k a k a k a k a k a k a k (4) 有非零解((4)向量式是 k11 + k2 2 ++ km m = 的坐标表示式) 推论 1: n 个 n 维向量 ( , , , ) i i1 i 2 i n = a a a (i = 1,2,. ,n) 线性相关 n n nn n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 13 = 0 定理 2 m 个 n 维向量 m , , , 1 2 (m≥2)线性相关 其中必有一个向量是其余 m−1 个向量的线性组合。 证 设 m , , , 1 2 线 性 相 关 , 则 有 不 全 为 0 的 m k , k , ,k 1 2 使 k11 + k2 2 ++ km m = 不妨设 k1 0 ,于是由上式得 1 2 1 k k = − 2 −− m m k k 1 即 1 是 m , , , 2 3 的线性组合。 设 i 是 i i m , , , , , , 1 2 −1 +1 的线性组合 即 i i i i i m m = k11 + k2 2 ++ k −1 −1 + k +1 +1 ++ k 于是 k11 ++ ki−1i−1 + (−1)i + ki+1i+1 ++ km m = 因为 i i m k , k , , k , 1, k , k 1 2 −1 − +1 不完全为 0,所以 m , , , 1 2 线性相关。 定理 3 若 n 维向量 r , , , 1 2 线性相关,则 r r m , , , , , 1 +1 也线性相关