例1:设a=(-3,3,6,0),B=(9,6,-3,18),求y满足a+3y=B 解:因为3y=B-a=(9,6,-3,18)-(-3,36,0)=(12,3,-918) 所以 y=(12,3,-918)=(4,-3,6)。 向量间的线性关系 1.概念 定义2.设a12a2,…,Cm,B是m+1个n维向量,若存在m个数k1,k2,……,km使 B=k,a,+ k2a 则称B是a1,a2,…,an的线性组合或B可由ax1,a2,…,an线性表示 例2.设a1=(1,1),a2=(0,1),a3=(0,0,1),B=(1,34)问B能否由a1a2,a2 线性表示? :由定义2知,B能由a12a2,C3线性表示分存在k1,k2,k3使 B=ka,+k,a,+k,a 成立,用分量表示(1),即 k1+k,=3 即k1=1,k2=2,k3 k1+k2+k3=4 所以,B=a1+2a2+a3,B能由∝1,a2,a3线性表示。 定义3.对于m个n维向量a12a2,…,an(m≥1),若存在m个不全为0的数 k1,k2,…km,使得 k,a,+k,a ck.a=e (3) 则称a1,a2,…,am线性相关,否则称∝1,∝2,…am线性无关。(即(3)式只有当 k1=k2=…=kn=0时才成立) 注1.包含零向量b的向量组必线性相关 单独一个已线性相关 an)与B=(b1,b2,…bn)线性相关例 1：设  = (−3,3,6,0) ，  = (9,6,−3,18) ，求  满足  + 3 =  。 解：因为 3 =  − = (9,6,−3,18) − (−3,3,6,0) = (12,3,−9,18) 所以 (12,3, 9,18) 3 1  = − = (4,1,−3,6) 。 三. 向量间的线性关系 1. 概念 定义 2. 设    m , , , 1 2  ,  是 m+1 个 n 维向量，若存在 m 个数 , , 1 2 k k m  ,k 使 m m  = k11 + k2 2 ++ k  则称  是    m , , , 1 2  的线性组合或  可由    m , , , 1 2  线性表示。 例2. 设 (1,1,1) 1 = ， (0,1,1) 2 = ， (0,0,1) 3 = ， = (1,3,4) 问  能否由 1 2 3  , , 线性表示？ 解：由定义 2 知，  能由 1 2 3  , , 线性表示  存在 1 2 3 k , k , k 使  11 22 33 = k + k + k （1） 成立，用分量表示（1），即      + + = + = = 4 3 1 1 2 3 1 2 1 k k k k k k 即 k1 =1, k2 = 2, k3 =1。 所以，  = 1 + 2 2 +3，  能由 1 2 3  , , 线性表示。 定义 3. 对于 m 个 n 维向量    m , , , 1 2  （m≥1），若存在 m 个不全为 0 的数 m k , k , ,k 1 2  ，使得 k11 + k2 2 ++ km m =  （3） 则称    m , , , 1 2  线性相关，否则称    m , , , 1 2  线性无关。（即（3）式只有当 k1 = k2 == km = 0 时才成立）。 注1. 包含零向量  的向量组必线性相关； 2. 单独一个  线性相关； 3. ( , , , )  = 1  2   n 与 ( , , , )  = b1 b2  bn 线 性 相 关