教学方法：采用集合论中相等的两个集合互相包含的方法 教学内容 I.如果V,V2是线性空间v的两个子空间，那么它们的交V∩V2也是 V的子空间，但是它们的并VUV2未必是V的子空间，并举出反例说明之 Ⅱ子空间的交运算适合下列运算规律， VnV:=V2nV(交换律) (Vnv)nV=Vin(VinV2)(结合律) 由结合律，我们可以定义多个子空间的交： vnvn"nv,=∩y 它也是V的一个子空间. Ⅲ如果V1,V2是V的两个子空间，那么它们的和V1+V2也是V的子空间， V.子空间的和适合下列运算规律： V1+V2=V2+V,(交换律) (N+V2rV,=V,+V2+V结和律) 由结合律，我们可以定义多个子空间的和 V+V2++Vs=∑n 它是由 (ai+a2++as laiEVi,i=1,2,",s} ,组成的子空间 V关于两个空间的交与和的维数，有下面的维数公式 维(V+维(V2)维V+V2+维VnV2) 证明此结论，注意由nV的一组基©，ae出发扩充成V的一组基 c1,a2 am,B1,B2.Bnt-m 也可以扩充成V2的一组基 C1,02 dm.Y1.Y2.".Yn2-m 然后证明 1,2…am,B1,,a1-my1,2,…3a2-m 组成V+V2的一维基 I如果n维线性空间V中两个子空间V,V2的维数之和大于n那么V1,2必含有非零的公共 向量教学方法: 采用集合论中相等的两个集合互相包含的方法. 教学内容: Ⅰ.如果 V1,V2是线性空间 v 的两个子空间,那么它们的交 V1∩V2也是 V 的子空间,但是它们的并 V1UV2 未必是 V 的子空间,并举出反例说明之. Ⅱ子空间的交运算适合下列运算规律: V1∩V2 = V2∩V1 (交换律) (V1∩V2) ∩V3= V3∩(V1∩V2) (结合律) 由结合律,我们可以定义多个子空间的交: V1∩V2∩ …∩Vs＝ i s i v =1  它也是 V 的一个子空间. Ⅲ 如果 V1,V2 是 V 的两个子空间,那么它们的和 V1+V2 也是 V 的子空间. Ⅳ. 子空间的和适合下列运算规律: V1+V2=V2+V1 (交换律) (V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)(结和律) 由结合律,我们可以定义多个子空间的和 V1+V2+…+VS== s i Vi 1 它是由 ｛α 1+α 2+ …+α s︱α i∈V i, i =1,2,…,s｝ ,组成的子空间. Ⅴ.关于两个空间的交与和的维数,有下面的维数公式 维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1∩V2) 证明此结论,注意由 V1∩V2 的一组基 α1,α2````αm出发,扩充成 V1 的一组基 α1, α2```` α m , β1, β2 , … ,βn1-m 也可以扩充成 V2 的一组基 α1, α2```` α m , γ1, γ2 , … ,γn2-m 然后证明 α1, α2```` α m , β1, β2 , … ,βn1-m, γ1, γ2 , … ,γn2-m 组成 V1+V2 的一维基. Ⅵ.如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1,V2 的维数之和大于 n,那么 V1,V2 必含有非零的公共 向量