Chapter 4 Initial 局部截断误差 -value problems for ODE 定义1假设yn=y(x),即第n步计算是精确的前提下称 Rn+1=y(Xn+-)-ym+1为欧拉法的局部截断误差 注:无y=y(x)前提下,称Rn+1为整体截断误差 定义2若某算法的局部截断误差为O(hP+1),称该算法有p阶精度 定理欧拉法的精度是一阶 分析:证明其局部截断误差为O(h2),可通过 Taylor.展开式分析 证明:Euer公式为yn+1=yn+hf(Xnyn) 令yn=y(Xn),下证:y(Xn+)yh+1=O(h2) yn+1=yn+hf(xnyn)=y(Xn)+hf(Xny(Xn)由y(X)=f(x,y(×) x)+h n y(n) Taylo y(xn+1=y(xn +h)===y(x,)+hy(x,)+ y(5) h25∈( 2! n+1 y(xn+D-y h2=O(h2) HUST局部截断误差 定义1 假设yn=y(xn) ,即第n步计算是精确的前提下 步计算是精确的前提下,称 Rn+1=y(xn+1)-yn+1为欧拉法的局部截断误差 欧拉法的局部截断误差. 定理 欧拉法的精度是一阶 定义2 若某算法的局部截断误差为O(hp+1),称该算法有p阶精度. 注 无yn=y(xn) 前提下 称Rn+1为整体截断误差 分析 证明其局部截断误差为O(h2),可通过Taylor展开式分析 证明 Euler 公式为 n+1=y +hf(x ,y n n n y ) 令yn=y(xn) 下证 y(xn+1)-yn+1 = O(h2) ∵ n+1= +hf(x n n n y y ,y ) = +hf( n n n y(x ) y x , (x )) 由 yí(x) =f(x, y(x)) ' = +h n n y(x ) y (x ) Taylor ' ' n+1 n n n n+1 2 n ' y(x )=y(x +h) === y(x )+hy (x )+ , (x , x y ) 2 ) ( h ξ ξ ∈ ! ∵ '' 2 n+1 ( ) 2 n+1 2 y(x )-y h ) = h =O( y ξ ∴