Chapter 4 Initial 二步欧拉法的局部截断误差 -value problems for ODE y n+1 yn-1 +2hf(X,y,) 定义3假设y=y(×n),Yn=1=yXn-1,称R+1=y(Xn+)-yh+1为 二步欧拉法的局部截断误差 定理隐式欧拉法的精度是一阶,二步欧拉法的精度是二阶 证明:对二步欧拉法进行证明,考虑其局部截断误差, Ayn=y(Xn),y-1=y(X,-1), Yu+1=y 1 +2f( y)=y(x- 1+2hf(x, y(x D)=y(x-1)+2hy(X y(xn+=y(xn +h)===y(x)+hy(xn)+y(Xn)- h,5∈(xn y(xn p=y(x-h)=(x )-hy(xn) y(X)+2m(-h)', nE(Xn-1,X) 3 将上两式左右两端同时相减: y(x)y(x, =2hy(X,)+ y(5)+y(m)13 ∴y(xn+1)-yn+=O(h) 二步欧拉法的局部截断误差为O(h),其精度是二阶。 HUST二步欧拉法的局部截断误差 二步欧拉法的局部截断误差 定义3 假设yn=y(xn) , yn 1=y(xn 1),称Rn+1=y(xn+1)-yn+1为 二步欧拉法的局部截断误差 二步欧拉法的局部截断误差. n+1= +2 n-1 n n y y y hf(x , ) 定理 隐式欧拉法的精度是一阶 二步欧拉法的精度是二阶 证明 对二步欧拉法进行证明 考虑其局部截断误差 令yn=y(xn) , yn 1=y(xn 1), = +2hf n n -1 n y(x ) y (x , (x )) ' = + n-1 n y( x ) y (x ) 2 h Taylor ' 2 '' n+1 n n n n n+ ' 1 ' ' 3 n y(x )=y(x +h) === y(x )+hy (x ) h y (x ) 2! + + ,( y ( ) ) h x ,x ξ ξ ∈ 3! ∵ n+1 n+ 3 1 ∴ y(x )-y =O(h ) n+1= +2 n-1 n n y y y hf(x , ) ' n-1 n n n 2 n-1 '' 3 n n ' '' (-h) y (x ) 2 y ( y(x )=y( ) x -h)=y(x )-hy (x )+ + , (x , x ) (-h) ! η η ∈ 3! 将上两式左右两端同时相减 将上两式左右两端同时相减 ''' ''' ' n-1 () () 3 n 1+ n 3 y(x )-y(x ) 2hy (x = )+ h y y ξ η + ∴ ! 二步欧拉法的局部截断误差为 二步欧拉法的局部截断误差为O(h3) 其精度是二阶