线性代数重点难点30讲 第25讲线性相关性概念的 进一步讨论(1) 在第9讲中,我们讨论了判断向量组是否线性相关的基本方法.线性相关与线性无关的 概念既是整个线性代数课程中的重点,更由于其抽象性而成为课程的难点之一.下面结合典 型例题就线性相关性概念进行较为全面的讨论 向量组的线性相关性的定义是:设向量组ax1,2,…,a1(s≥1),如果存在一组不全为 的数k1,k2,…,k,使得 k1a1+k2(2+…十ka1=0, 则称向量组是线性相关的;否则称向量组线性无关,即只有当k1=k2=…=k,=0时,才 能使k1+k2a2+…+kan=0,或者说,任意一组不全为0的数k1,k2…k,都不能使k1a1 k2ax2+…+k,=0成立 该定义是讨论向量组的线性相关性的最根本的依据 例1设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中,n<m,E是n阶单位矩阵,若AB E,试证:B的列向量组线性无关 证设B=(B1,月2,…,Bn),其中B(i=1,2,…,n)是B的第i个列向量.一定有 组数x1,x2,…,xn,使 x1B1+x2B2+…+x,.=0 (B1,B1,…,Bn) 0.其中x=(x 上式两边左乘A,则得ABx=0,即Ex=0.即 )=0, x1=x2=…=xn=0,所以由定义知β1,B2,…,B线性无关,即B的列向量组线 性无关 注意本例将向量组B1,B2,…,B的线性相关性问题转化为齐次线性方程组Bx=0有 无非零解来讨论,这是一种常用的方法 由此定义,易推出如下的命题 命题1单个非零向量线性无关