式f(x)表成x-a的方幂和,就是把f(x)表示成 f(x)=b,(x-a)"+b,(x-a) +b1(x-a)+b 的形式如何求系数b,bn,…,b,b,把上式改写成 f(x)=[bn(x-a)1+bn(x-a)2+…+b]x-a)+b0 就可看出b就是f(x)被x-a除所得的余数,而 q1(x)=bn(x-a)+bn1(x-a)"2+…+b 就是f(x)被x-a除所得的商式又因为 q1(x)=[bn(x-a)"2+bn1(x-a)"+…+b2x-a)+b1 又可看出b是商式q1(x)被x-a除所得的余式,而 q b b 就是q1(x)被x-a除所得商式这样逐次用x-a除所得的商式,那么所得的余数 就是b,b,…,bn1,b 例4将f(x)=(x-2)+2(x-2)3-3(x-2)2+(x-2)+5展开成x的多项式 解令 2,则x=y+2.于是 问题变为把多项式y4+2y3-3y2+y+5表成y+2(即x)的方幂和, 2 12 5 0 +) 11式 f (x) 表成 x − 的方幂和，就是把 f (x) 表示成 1 0 1 1 f (x) b (x ) b (x ) b (x ) b n n n = n − + − + + − + −  −    的形式.如何求系数 1 1 0 bn ,bn− ,  ,b ,b ，把上式改写成 1 0 2 1 1 f (x) [b (x ) b (x ) b ](x ) b n n n = n − + − + + − + − − −     , 就可看出 0 b 就是 f (x) 被 x − 除所得的余数，而 1 2 1 1 1 q (x) b (x ) b (x ) b n n n = n − + − + + − −  −   就是 f (x) 被 x − 除所得的商式.又因为 2 1 3 1 2 1 q (x) [b (x ) b (x ) b ](x ) b n n n = n − + − + + − + − − −     . 又可看出 1 b 是商式 ( ) 1 q x 被 x − 除所得的余式，而 3 2 3 1 2 2 q (x) b (x ) b (x ) b (x ) b n n n = n − + − + + − + − − −     . 就是 ( ) 1 q x 被 x − 除所得商式.这样逐次用 x − 除所得的商式，那么所得的余数 就是 b b bn bn , , , , 0 1  −1 . 例 4 将 ( ) ( 2) 2( 2) 3( 2) ( 2) 5 4 3 2 f x = x − + x − − x − + x − + 展开成 x 的多项式. 解 令 y = x − 2 ，则 x = y + 2 .于是 ( 2) 2 3 5 4 3 2 f y + = y + y − y + y + . 问题变为把多项式 2 3 5 4 3 2 y + y − y + y + 表成 y + 2 （即 x ）的方幂和, -2 | 1 2 -3 1 5 +) -2 0 6 -14 ------------------------------------------------------- -2 | 1 0 -3 7 | -9 +) -2 4 -2 ------------------------------------------------------ -2 | 1 -2 1 | 5 +) -2 8 ----------------------------------------------- -2 | 1 -4 | 9 +) -2 ----------------------------------