2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 =x sin x-200x cosx-9900 sin x 例3.12求y=x2- 的n阶导数 【解】y{) (-1)"nl(-1)"n! 2a(x-a xta 2a(x-a)”(x+a) nd 例3.13f(x)=ln(2-3x)的10阶导数是()。 (A) (2-3x) (2-3r)o(o)30.10;m)-30.9 (2-3x) (2-3x) 【解】答案为)。只须注意到(-1)的次数(19次)、阶乘的结果及3的方幂即可。 3.5复合函数求导法则与徵分法 定理3.2如果l=q(x)在点x处有导数 du a='(x=f(u)在对应点(=(x)处也有 dsf(),则复合函数y=(x)在点x处也有导数,且 =如或{n1o(x}=r(( dx du dx 例3.14 y=ax与y=ln(x+√x2+1)的导数 【解】(a)=01、1+(-x)=lno 1+x 1)y =(1 2x) x+√x2+12√x2+1 x2+1 例3.15求函数y=xm(x>0)的导数 【解】(方法1)这类函数叫做幂指函数。首先两边取对数,得隐函数iny= sin xInx 再由隐函数求导法得 CoStIn,sin x,从而y= x [cos xInx, sin 这种先取对数再求导的方法叫做取对数求导法。除适用于幂指函数y=u(x)x)外,对含有 多个因式相乘除或带乘方、开方的函数也适用。 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 9网址:www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 x sin x 200x cos x 9900sin x 。 2 = − − 例 3.12 求 2 2 1 x a y − = 的 n 阶导数。 【解】 ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 1 2 1 1 n n n x a a x a x a y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − − = +1 +1 ( ) ( 1) ! ( ) ( 1) ! 2 1 n n n n x a n x a n a ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = − +1 +1 ( ) 1 ( ) 1 2 ! ( 1) n n n a x a x a n 例 3.13 f (x) = ln(2 − 3x) 的 10 阶导数是（ ）。 (A) 10 10 (2 3 ) 3 10! − x − ⋅ ；(B) 10 10 (2 3 ) 3 9! − x ⋅ ；(C) 10 10 (2 3 ) 3 10! − x ⋅ ；(D) 10 10 (2 3 ) 3 9! − x − ⋅ 。 【解】答案为(D)。只须注意到(-1)的次数（19 次）、阶乘的结果及 3 的方幂即可。 3.5 复合函数求导法则与微分法 定理 3.2 如果u = ϕ(x) 在点 x 处有导数 (x); y f (u) dx du = ϕ′ = 在对应点u(u = ϕ(x)) 处也有 导数 f (u) du dy = ′ ，则复合函数 y = f [ϕ(x)]在点 x 处也有导数，且 dx du du dy dx dy = 或 { f [ϕ(x)]}′ = f ′(u)⋅ϕ′(x) 例3.14 x y a 1 arctan = 与 ln( 1) 2 y = x + x + 的导数。 【解】 ( ) 1 1 ( ) ln 2 2 1 arctan 1 arctan − − − + ′ = x x a a a x x x a x a 1 arctan 2 1 ln + = − 2 ) 2 1 1 (1 1 1 [ln( 1)] 2 2 2 x x x x x x + + + + + + ′ = 1 1 2 + = x 例 3.15 求函数 ( 0)的导数。 sin y = x x > x 【解】(方法 1) 这类函数叫做幂指函数。首先两边取对数，得隐函数 ln y = sin x ln x 。 再由隐函数求导法得 x x y x x y sin cos ln 1 ′ = + ，从而 ] sin [cos ln sin x x y x x x x ′ = + 。 这种先取对数再求导的方法叫做取对数求导法。除适用于幂指函数 外，对含有 多个因式相乘除或带乘方、开方的函数也适用。 ( ) ( ) v x y = u x 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 9 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805