七章留数定理及其应 第3页 2(-3)(-4(2+i) =士i ★函数在∞点的留数 对于∞点,定义 res f(oo)=2mi f, f(a)d 这里的C′是绕∞点正向(也就是顺时针方向)一周的围道,在围道内除∞点可能是f(x)的奇点 外别无奇点 resf(∞)并不是f(x2)在∞邻域内 Laurent展开中z1项的系数 resf(∞)s,1 f(zd 如() /()在=0点邻域内幂级数展开中项的系数 -f()在=0点邻域内幂级数展开中项的系数 f(2)在z=∞点邻域内幂级数展开中2-1项的系数 ★这个结果和有限远处不同之处: 1.从结果上说,函数∫()在∞点的留数,等于∫(z)在∞点邻域內幂级数展开中z-1项的 亲数乘以-1,这里多了一个负号 2.从概念上说,由于z-1项是属于f()在∞点邻域內幂级数展开式的正则部分,因此,即 使∞点不是∫(z)的奇点,resf(∞)也可以不为0.反之,即使∞点是∫(z)的奇点,甚至是一阶 极点,也可以为0 ★留数的应用—有理函数的部分分式 例.将函数 f(a) 1)(2-2)(z-3) 部分分式 A (z-1)(z-2)(2-3)z-1z-2z-3 三个待定常数,A,B和C,正好就是函数f(2)在一阶极点z=1,2=2和z=3点处的留数.因此 A (2-1)(2-2)(2-3)2￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 3 ☞ = 1 2!(−3)(−4)(z ± i)−5     z=±i = ∓ 3 16 i. F ➚ ✢➪ ∞ ➝➞✜✢ ➶ ◗ ∞ ❀ ❂❧➹ res f(∞) = 1 2π i I C0 f(z)dz, ➼➘★ C 0 ➌❴ ∞ ❀➴ ➷ (➬r➌ ➮♦➱✃ ➷ ) ✬❐★ ❫❒❂❅ ❫❒ ❆✹ ∞ ❀ ➒❮➌ f(z) ★ ✿❀ ❁➨❰✿❀✷ F res f(∞) Ï❡➌ f(z) ❅ ∞ ❘ ✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ z 1 ➍ ★❯❄✷ res f(∞) = 1 2π i I C0 f(z)dz = − 1 2π i I C f  1 t  dt t 2 = − 1 t 2 f  1 t  ❅t = 0❀ ❘ ✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊t −1➍ ★❯❄ = − f  1 t ❅t = 0❀ ❘ ✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊t 1➍ ★❯❄ = − f(z)❅z = ∞❀ ❘ ✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊z −1➍ ★❯❄✷ F ➼✼ÒÓ➲ ✺✻Ô▼❡ÕÖ▼× 1. ØÙÚÛÜ❂ ⑥ t f(z) ❹ ∞ ❼⑦ st❂ÝÞ f(z) ❹ ∞ ❼ßà ❺áâtãä å z −1 æ⑦ çtè é −1 ❂êë ì ➂íî ïð ✷ 2. ØñòÛÜ❂óÞ z −1 æôõÞ f(z) ❹ ∞ ❼ßà ❺áâtãäö⑦÷øù❶❂úû❂ü ý ∞ ❼þô f(z) ⑦❻❼❂ res f(∞) ÿ￾ éþ➁ 0 ✷ ✁✂❂üý ∞ ❼ô f(z) ⑦❻❼❂ ✄☎ôí✆ ✝❼ ❂ÿ￾ é ➁ 0 ✷ F ✜✢➞✞✟ ✠ ✤ ➚ ✢ ➞✡☛☛☞✷ ✌ ✷✍❃❄ f(z) = 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) ✎ ✭✭q✷ 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) = A z − 1 + B z − 2 + C z − 3 . ➾ ✼✏ ❧➩❄❂A, B ➲ C ❂ ➴✑ r➌❃❄ f(z) ❅✬➡➎❀ z = 1, z = 2 ➲ z = 3 ❀ ▼★ ◆❄✷✒✓ A = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3)     z=1 = 1 2