·2.函数及其性质 7 IV 34~35)中他说：“设f()是变量x的一个函数，并设对介于给定 两个限[界]之间的的值，这个函数总取一个有限且唯一的值. 如果从包含在这两个界之间的一个x值开始，给变量x以一个无 穷小增量a,函数本身就将得到一个增量即差f(+a)一f(x), 这个差同时依赖于新变量“和原变量：的值.“假定了这一点之 后，如果对于每一个在这两个限中间的x的值，差f(心+a)一f() 的数值随着α的无限减小而无限减小，那么就说，在变量x的两限 之间，函数f()是变量的一个连续函数.换句话说，如果在这两 限之间，变量的一个无穷小增量总产生函数自身的一个无穷小增 量，那么函数f()在给定限之间对于：保持连续。 “我们也说f()在变量x的一个确定值的邻域中是x的连续 函数，只要这函数在：的这两个限之间是连续的，而不管界住自变 量的值的这两个限是多么靠近.”然后Cauchy又说，如果函数在 包含的任何区间上不连续，就说函数在处不连续 Cauchy在他的教程》中(p.37)断言，如果一个多变量函数 分别对每个变量都是连续的，则它对于所有变量都连续.这是不 正确的. 在整个十九世纪，连续的概念是人们研讨的对象，因而数学 家们对它更多地理解了，有时候产生使他们感到吃惊的结果. Darboux曾给出一个函数的例子，当从心=a变到c=b时，这个函 数取遍两个给定值之间的一切中间值，但却不是连续的.这样，连 续函数的一个基本性质是不足以确保函数连续性的.四 Weierstrass在分析严密化方面的工作改进了Bolzano,Abal, 和Cauohy的工作.他也力求避免直观而把分析奠基在算术概念 的基础上，但他是在1841~1856年做中学教师时做这些工作的， (仙)考虑当x+0时y=血二而当：=0时y0.这个函数取遍从云的一个负值所 对应的函数值到x的一个正值所对应的函数值之间的一切值，但是这个函数在 =0点不连续