数学分析A1 作者：原生生物QQ:3257527639 使用资料：任广斌老师讲义（下称讲义）、数学分析教程（上册）（下称教材）、谢惠民习题 课讲义（上册）（下称谢惠民） 注意」 1、文档顺序按照讲义编排，定义均依照教材 2、无缩进的结论是个人认为可以直接使用的定义/定理，不太确定的均已缩进 3、结论能否使用最终解释权在老师与助教 一、数列极限 定义1实数完各性：全体无尽小数口实数（教材P3) 可定义为此推出下方6条等价定义（定理） 无穷递降法的应用 结论1neN”,meZ,n+m2→V斤Q(教材P5) 证明思路反证，考虑√万整数部分 定义2极限的E-N定义（教材P9) 补充可替换为e(0,1)或Ian-al<Me(M为正常数)或lan-al≤ *此为唯一定义方式 *去掉有限项后近似常值 *适当放大法 结论21im元=1（谢惠民P16) 证明思路算术-几何均值放大为1+后 *分类思想（讨论：有无最大，极限是否为无穷，极限是否为0等等） 结论31im尝=0→m"=0(做材P12) 证明思路分am有无最大值，有易证，无则先考虑max增大时子列。再放缩其余 定义3数列有界性（教材P9) 定义4数列单调性（教材P26) 补充收敛数列性质（谢惠民P17起，均由定义证明）： 极限唯 有界性 *保序性（蕴含保号性、夹通定理） (注意保序将严格大于小于变为不严格的大于等于小于等于) (保序性经典用法：取某个数和极限的中点，都在此微小区域内) 结论4ima=c<1→mam=0(谢惠民P28) 证明思路考虑牛 数学分析 A1 作者：原生生物 QQ：3257527639 使用资料：任广斌老师讲义（下称讲义）、数学分析教程（上册）（下称教材）、谢惠民习题 课讲义（上册）（下称谢惠民） 注意： 1、文档顺序按照讲义编排，定义均依照教材 2、无缩进的结论是个人认为可以直接使用的定义/定理，不太确定的均已缩进 3、结论能否使用最终解释权在老师与助教 一、数列极限 定义 1 实数完备性：全体无尽小数 ⇔ 实数（教材 P3） *可定义为此推出下方 6 条等价定义（定理） *无穷递降法的应用 结论 1 n ∈ ℕ ∗ ,   ∀m ∈ Z,   n ≠ m2 ⇒ √n ∉ ℚ（教材 P5） 证明思路 反证，考虑√𝑛整数部分 定义 2 极限的 ϵ − N 定义（教材 P9） 补充 可替换为 ∀ϵ ∈ (0 ,  1) 或 |𝑎𝑛 − 𝑎| < Mϵ（M 为正常数）或 |𝑎𝑛 − 𝑎| ≤ ϵ *此为唯一定义方式 *去掉有限项后近似常值 *适当放大法 结论 2 lim 𝑛→∞ √𝑛 𝑛 = 1（谢惠民 P16） 证明思路 算术-几何均值放大为1 + 2 √𝑛 *分类思想（讨论：有无最大，极限是否为无穷，极限是否为 0 等等） 结论 3 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑚𝑎𝑥𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖 𝑛 = 0（教材 P12） 证明思路 分𝑎𝑛有无最大值，有易证，无则先考虑 max 增大时子列，再放缩其余 定义 3 数列有界性（教材 P9） 定义 4 数列单调性（教材 P26） 补充 收敛数列性质（谢惠民 P17 起，均由定义证明）： *极限唯一 *有界性 *保序性（蕴含保号性、夹逼定理） （注意保序将严格大于小于变为不严格的大于等于小于等于） （保序性经典用法：取某个数和极限的中点，都在此微小区域内） 结论 4 lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = c < 1 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0（谢惠民 P28） 证明思路 考虑 𝑐+1 2