R(k)=a1R(k-1)+…+anR(0),(k≥1) (11.10 这个方程与(11.10)是一样的,其差别仅在于:(1l.10)是为了用求来偏相关系数及定阶,所以未知 数实际上有无穷多个,而如今假定已知其阶为p,未知数就只有P个,方程虽然有无穷多个,却 只有p个是线性无关的.所以是有限个方程.又显见(11.10)的解恰好是此时间序列的前p 个偏相关系数.只要在(1l.10)’中用R()(≤p)代替R((j≤p),就得到相应的自回归 系数(a1…,an)的如下估计a=(a1…,ap) r b 其中 R=LY r 这个估计一般称为 Yule-Walker估计.实际上,它正好是前面得到的估计a1=a1"(i≤p) 此外,也可以用最小二乘估计,即令 N-1 SN-P-2LN>>p, a (1112) 用方程0=5在a1|+…+|apk1的条件下的约束最小二乘解(参见第一章),作为自回归 系数O的估计(最粗略的处理约束方法是对建模误差加上一个惩罚项,例如C(∑a4|-1)”, 其中C是一个很大的正数上标的符号表示取正部即a=alo(a) 残差方差的估计 ,立刻可以残差的方差2=EE2的估计 ∑(5n-a15 a, 5nm-p)=R(O) b=R(O-br b n=p+1 [注1]如前所述,如果自回归残差En服从正态分布,就可以对自回归系数及条件方差作最 大似然估计,进而还可以对它们作区间估计.在应用中一般地自回归残差并不服从正态分布,但 是如果无视是否有正态性强行按正态分布作最大似然估计与区间估计,也能得到较粗的参考信 [注2]与统计领域中不同,在经济类的一些有关时间序列的书籍与文献中,11.7)代之以 p Sm-p=boEn+b,e, ba (11.7) 并且也称之为ARMA(pq模型。这种扩展增加了一个常数项φω’这种模型出自经济研究.当 ao>0,a1≥0,…,an20.a1+…+an<1时,可以证明此时间序列是渐近平稳的 注3]由理论上可以证明,在给定相关函数列的p+1个值R(0)R(1),…,R(P)的所有平稳序列中,使294 ( ) ( 1) (0),( 1) R k = a1R k - +L+ a pR k ³ . (11. 10)’ 这个方程与(11. 10)是一样的, 其差别仅在于: (11. 10)是为了用求来偏相关系数及定阶, 所以未知 数实际上有无穷多个, 而如今假定已知其阶为 p , 未知数就只有 p 个, 方程虽然有无穷多个, 却 只有 p 个是线性无关的．所以是有限个方程．又显见(11. 10)’的解恰好是此时间序列的前 p 个偏相关系数. 只要在(11. 10)’中用 ( )( ) ^ R j j £ p 代替 R( j)( j £ p) , 就得到相应的自回归 系数( , , ) 1 p a L a 的如下估计 D = ^ a T (a , , a p ) ^ 1 ^ L : ^ ^ ^ a R b -1 = , 其中 = ^ R ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - - - - ^ ^ p ^ p ^ p ^ ^ ^ p ^ ^ 1 1 0 1 0 2 0 1 1 g g g g g g g g g L L L L L L L , = ^ b T p ( , , ) ^ ^ 2 ^ 1 g g Lg . 这个估计一般称为 Yule-Walker 估计. 实际上, 它正好是前面得到的估计 ( ) ^ ( ) ^ a i p p i = ai £ . 此外, 也可以用最小二乘估计, 即令 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ >> = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = - - - - - + - p p N N p N N p p N N A N p a a a q x x x x x x x x x x M L M M L L M 2 1 1 2 2 1 1 1 , , , . （11.12） 用方程 Aq = x 在| | | | 1 a1 +L+ a p < 的条件下的约束最小二乘解 (参见第一章), 作为自回归 系数q 的估计. (最粗略的处理约束方法是对建模误差加上一个惩罚项, 例如 å= + - p k C k 1 ( | a | 1) , 其中 C 是一个很大的正数, 上标的符号表示取正部, 即 ( ) [0, ) a aI a ¥ + = ). 残差方差的估计 由 n n p n p n x - a x - - a x = e 1 -1 L - , 立刻可以残差的方差 2 2 E n s = e 的估计 ( 1 1 ^ 2 å - = + = N N p n p s 2 ^ 1 ^ 1 ) n n p n p a a - - - - - x x L x = - ^ R(0) ^ a T ^ b = - ^ R(0) ^ b ^ 1 ^ R b - . [注 1] 如前所述, 如果自回归残差 n e 服从正态分布, 就可以对自回归系数及条件方差作最 大似然估计, 进而还可以对它们作区间估计. 在应用中一般地自回归残差并不服从正态分布, 但 是如果无视是否有正态性, 强行按正态分布作最大似然估计与区间估计, 也能得到较粗的参考信 息. ［注 2］ 与统计领域中不同，在经济类的一些有关时间序列的书籍与文献中，11. 7）代之以 n n p n p n n q n q a a a b b b - - - - - - = + - + + - x x L x e e L e 0 1 1 0 1 1 , （11. 7）* 并且也称之为 ARMA(p,q)模型。这种扩展增加了一个常数项 0 a ，这种模型出自经济研究．当 0, 0, , 0, 1 a0 > a1 ³ L a p ³ a1 +L+ a p < 时, 可以证明此时间序列是渐近平稳的． [注 3] 由理论上可以证明, 在给定相关函数列的 p +1个值 R(0),R(1),L, R( p) 的所有平稳序列中, 使