性化之后,可以加、减、乘、除,可以计算,因此可以得到数出来.数学要 是能够得到数出来,总是很要紧的.所以微分大概是说用曲线的切线来研 究曲线的性质.积分来得早了因为积分实际上大致讲起来,它是要计算面 积.那么假使平面上有一个区域,由曲线来做为边界,它的面积有多大,圆周 的面积有多大,这里的问题是积分的开始,也是积分重要的目的.因此,实 际上,积分的发展在微分之前.积分当时也没有一定的定义,积分就是有个 极限的观念.曲线所围城的区域一般想法子用直线来逼近,使得逼近的曲 线趋于你的边界的时候,就有个极限,就是这个区域的面积.所以,总而言 之,积分的发展在微分之前.中间这两个问题好象没有关系,但是其实这关 系非常的密切.积分差不多是微分的反运算.比方说,假使你求这条直线跟 两条垂线所成区域的面积,这两条垂线,一个是s=a,一个是s=x,你要去 算这个区域的面积,是个定积分/af(x)dx,(读作f(x)定积分从a→x).这 是当年莱布尼兹的符号,这个积分的符号记成这样,因为积分总是代表 个和,∫代表和(sum).假设面积一边由s=a的直线作边界,另一边是任意 的x,你把x这条直线移动的话,就得到一个r的函数,这个函数,我叫它A(x) 就是我图上的面积,是个积分,所以它是一个数目,与x有关,所以是x的函 数.这个函数跟曲线方程y=f(x)这个函数有密切关系.为什么有密切的关 系呢?很简单地看看,假如求A(x)=Jaf(x)dx的微分,求它的微分嘛,就是 说,求s=x,x+δx所围成的这个小条区域的面积.现在如果你拿δc除的话 我想很容易看出来了,这个极限就是∫(x).所以很容易看出来A(x)这个函数 的微分就是f(x),因此 dac 这就是微分同积分的基本的关系.这个关系说A(x)是一个积分,求它的微分 的时候,就得f(x),这个一般地,叫做微积分的基本定理.我从前在南开念微 积分的时候,始终不懂为什么这是一个微积分的基本定理,因为一般地把这 个关系式写成 f(a)d ls f(a)d o 形状左边积分是个不定积分 (indefinite integra),不定积分是个函数,左式 2✉➎❷⑨, ✱✶✜✁❃✁➷✁ø, ✱✶✎➤, ❖✩✱✶③t❥ñ✉. ❥➛✞ ✹✕ê③t❥ñ✉, ✎✹✐✞➏④. ➘✶❻■▲➊✹⑨⑦▼✧④★✧✉Ï ➘▼✧④✉➓. è■✉③￾ê,❖➃è■✧✓Þ▲➋❨å✉, ➬✹✞✎➤➪ è. ￾➃✧✫➨➪Þ❿✘➬❑➢, ❸▼✧✉✮➃✣➂, ➬④➪è❿õ▲, ❐➧ ④➪è❿õ▲, ❨➦④➥☛✹è■④✌✮, ✎✹è■➢✞④ø④. ❖✩, ✧ ✓Þ, è■④✕✵ó❻■❷✄. è■❤✣✎➊❿✘➼④➼❇, è■Ò✹❿➬ ô✦④✡✬. ▼✧➘➀➶④❑➢✘➘✳✛✝⑦❺✧✉✆↔, ✫③✆↔④▼ ✧❏➉✜④✣➂④✣⑧, Ò❿➬ô✦, Ò✹❨➬❑➢④➪è. ➘✶, ✎✌Ó ❷, è■④✕✵ó❻■❷✄. ➙✲❨Ü➬➥☛P✻➊❿✞ø, ❜✹Ù✧❨✞ ø✿➒④➲★. è■❿❳õ✹❻■④✬ä➤. ✞✵⑨, ✧✫✜❋❨✣❺✧❐ Ü✣✒✧➘➘❑➢④➪è, ❨Ü✣✒✧, ✘➬✹s = a,✘➬✹s = x, ✜✞❱ ➤❨➬❑➢④➪è, ✹➬➼è■ R x a f(x)dx, (Ö✯f(x)➼è■✱a → x). ❨ ✹❤★t❨✚û④♥❘, ❨➬è■④♥❘✏➘❨ø, ❖➃è■✎✹❙✱✘ ➬❩, R❙✱❩(sum). ✧÷➪è✘✣❸s = a ④❺✧✯✣➂, ☞✘✣✹⑧❄ ④x, ✜➨x❨✣❺✧★➘④➏, Ò③t✘➬x④❁❥, ❨➬❁❥, ➲✇➬A(x), Ò✹➲❈Þ④➪è, ✹➬è■, ➘✶➬✹✘➬❥ø, ➛x❿✞, ➘✶✹x④❁ ❥. ❨➬❁❥❐▼✧✵➬y = f(x)❨➬❁❥❿➲★✞ø. ➃✤➃❿➲★④✞ ø✑Ú✐❀❭➃✗✗, ✧➌❋A(x) = R x a f(x)dx④❻■, ❋➬④❻■❧, Ò✹ ⑨, ❋s = x, x + δx ➘➀➘④❨➬❇✣❑➢④➪è. ✙ó➌✯✜üδxø④➏, ➲✳✐➂✹✗ñ✉ê, ❨➬ô✦Ò✹f(x). ➘✶✐➂✹✗ñ✉A(x)❨➬❁❥ ④❻■Ò✹f(x), ❖✩ dA(x) dx = f(x). (1.1) ❨Ò✹❻■✸è■④äý④✞ø. ❨➬✞ø⑨A(x)✹✘➬è■, ❋➬④❻■ ④✣⑧, Ò③f(x). ❨➬✘➘➃, ✇✮❻è■④äý➼➤. ➲✱✄ó✟✌✬❻ è■④✣⑧, ✮➟❳➹➃✤➃❨✹✘➬❻è■④äý➼➤, ❖➃✘➘➃➨❨ ➬✞ø✯❯➘ Z f(x)dx| b a = Z b a f(x)dx (1.2) ♦ç. ✫✣è■✹➬❳➼è■(indefinite integral), ❳➼è■✹➬❁❥, ✫✯ 2