上面的结论也可表为: L dt aga aga (2)我们已经学过,在经典力学中,理想,完整,保守体系的拉格朗日函数L=T-V,由此推出的 拉格朗日方程就是这种体系的动力学方程。如果另有一个函数,由此推出的拉格朗日方程也就是这个体系 的动力学方程,那么我们也可以取它作为这个体系的拉格朗日函数(我们称这两个拉格朗日函数等价)。也 就是说,拉格朗日函数不是,也没有必要是唯一确定的 事实上,如果两个拉格朗日函数只相差一个坐标和时间的函数对时间的全导数,即L2=L+ d(q,) dt 则这两个拉格朗日函数等价。(一个自由度的情形,证明见教材157页,一般情形请同学们自行证明。) 【思考】实际上,L=y() d a aL 是方程 =0的一个含有任意函数的解。上面这个方程和拉 dt dt 格朗日方程有什么区别? 我们还注意到,一个函数能否表为广义坐标和时间的某一函数的全导数,是与选用哪一套广义坐标无关 的,(这一点是至关重要的,否则(1)与(2)两点会发生矛盾)即 d(42)=(p()2()事实上 dt dt d(d(())2y0(ca, dt 00 a ae o, + a oa ar a at ar 008 sat dr 拉格朗日函数乘以常数,不改变拉格朗日方程(自行证明)。综上所述,对于拉格朗日函数的如下变换 1(4)→()=()+当(Q不改变拉格朗日方程 3.非惯性参考系中的拉格朗日函数(参阅教材§5.3.) 同一力学问题在不同参考系中的描述,只是在观察的角度上有所不同,它们的动力学方程应该本质上是 相同的,只是经历了某些变换而形式上有所不同(从惯性系和非惯性系中的牛顿方程之间的联系,我们已 经看到了这一点),因此它们的拉格朗日函数应该是等价的 由此可见,由原来的参考系的拉格朗日函数出发,经过参考系之间的变换,以及伴随这参考系变换而发 生的坐标变换,必要时再添上或舍去坐标和时间的某个适当的函数对时间的全导数,就可以得到新的参考 系中的拉格朗日函数。 考虑两个参考系坐标系基矢位置矢量速度拉格朗日函数 惯性系 s Oxyz 非惯性系S′Cxy2i,kF L 惯性系中的拉格朗日函数应表为:L=7-r=1m3-r() 利用参考系S和S"的各物理量之间的关系式:F=6+r3 上面的结论也可表为： d L L d L L Q q dt Q Q dt q q                     − = −               （2）我们已经学过，在经典力学中，理想，完整，保守体系的拉格朗日函数 L T V = − ，由此推出的 拉格朗日方程就是这种体系的动力学方程。如果另有一个函数，由此推出的拉格朗日方程也就是这个体系 的动力学方程，那么我们也可以取它作为这个体系的拉格朗日函数（我们称这两个拉格朗日函数等价）。也 就是说，拉格朗日函数不是，也没有必要是唯一确定的。 事实上，如果两个拉格朗日函数只相差一个坐标和时间的函数对时间的全导数，即 ( ) 2 1 df q t, L L dt = + ， 则这两个拉格朗日函数等价。（一个自由度的情形，证明见教材 157 页，一般情形请同学们自行证明。） 【思考】实际上， df q t ( , ) L dt = 是方程 0 d L L dt q q     − =   的一个含有任意函数的解。上面这个方程和拉 格朗日方程有什么区别？ 我们还注意到，一个函数能否表为广义坐标和时间的某一函数的全导数，是与选用哪一套广义坐标无关 的，（这一点是至关重要的，否则（1）与（2）两点会发生矛盾）即 df q t df Q t ( , , ) df Q t t ( ( , ,) ) ( ) dt dt dt  = = 事实上， df q t ( , ) df Q t t ( ( , ,) ) f f Q dt dt q Q t t               = = + +             f f f f f df Q Q q Q q t t Q t dt                      = + + = + =                  拉格朗日函数乘以常数，不改变拉格朗日方程（自行证明）。综上所述，对于拉格朗日函数的如下变换 ( ) ( ) ( ) ( ) dt df q,t L q,q,t L q,q,t ~ L q,q,t →  =   + 不改变拉格朗日方程。 3．非惯性参考系中的拉格朗日函数（参阅教材§5．3．） 同一力学问题在不同参考系中的描述，只是在观察的角度上有所不同，它们的动力学方程应该本质上是 相同的，只是经历了某些变换而形式上有所不同（从惯性系和非惯性系中的牛顿方程之间的联系，我们已 经看到了这一点），因此它们的拉格朗日函数应该是等价的。 由此可见，由原来的参考系的拉格朗日函数出发，经过参考系之间的变换，以及伴随这参考系变换而发 生的坐标变换，必要时再添上或舍去坐标和时间的某个适当的函数对时间的全导数，就可以得到新的参考 系中的拉格朗日函数。 考虑两个参考系 坐标系 基矢 位置矢量 速度 拉格朗日函数 惯性系 非惯性系 S S Oxyz Cx y z    1 2 3 , , . , e e e i j k r r  v v  L L 惯性系中的拉格朗日函数应表为： ( ) 1 2 2 L T V mv V r = − = − 利用参考系 S 和 S 的各物理量之间的关系式： 0 r r r = + 