米 证5e)=f八et=a-t+ vdx +udy =P(x,y)+ie(x,y) 因f()在E内解析，由定理2，F()与路径无关， 从而Pc,y)与2x,y)路径无关，所以P化，y)与 2(化，Jy)在E内可微，并且有 dp udx-vdy,do=vdx+udy aP 从而有 OP =1L= Ox ay dy 8x 所以F)为解析函数，且 F'(z)= =u+iv=f(Z) Ox 8x证 0 ( ) ( )d z z F z f z z =  0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d d i d d x y x y x y x y = − + + u x v y v x u y   = + P x y Q x y ( , ) i ( , ) 因 f (z)在E内解析，由定理2 ，F (z) 与路径无关， 从而P (x , y)与Q (x , y)路径无关，所以P (x , y)与 Q (x , y)在E内可微，并且有 d d d , P u x v y = − d d d Q v x u y = + 从而有 , P Q u x y   = =   = , P Q v y x   − = −   所以 F (z)为解析函数， 且 ( ) i i ( ) P Q F z u v f z x x    = + = + =  