第七讲解析函数的局域性展开(续) 第1页 第七讲解析函数的局域性展开(续) 7.1解析函数的 Laurent展开 一个函数除了可在解析点作 Taylor展开外,有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数.这 时就得到 Laurent展开 定理7.1(Laurent)设函数f(z)在以b为圆心的环 形区域R1≤|-b≤R2上单值解析,则对于环域内的任何z R 点,f(z)可以用幂级数展开为 ∑an(z-b),R1<|-b<R2 b f(z)= R 其中 C2 1 an=2(-+ C是环域内绕内圆一周的任意一条闭合曲线(见图7.1) 图7.1 Laurent展开 证将环域的内外边界分别记为C1和C2,则根据复连通区域的 Cauchy积分公式,有 1f() 1f() ()2ric5-22niyc,s-z d 对于C2上的积分,可以直接利用以前的结果, 169dc=an(z-6)", lz-b< 2iC2-2n=0 an 2i (c-b)+. 对于C1上的积分 -1 f( 1 f() k 2niJc, S-z 2i(-)-(-=2f( 2iJc, z-b -bdc 令-k-1=n,k=-(n+1),则 f() 2niesas=(-b) f() (-b)n+1=2an(2-b),|z-b>R1 n=-1 其中 an= 2iJc (-n+1Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 1 ✎ ✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜ (✢) §7.1 ✣✤✥✦✧ Laurent ★✩ ✪✫✬✭✮✯✰✱✲✳✴✵ Taylor ✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀✱❁✴❂❃✶✷❄❅❆✭❇❈ ✻❉❊❋ Laurent ✶✷❇ ●❍ 7.1 (Laurent) ■✬✭ f(z) ✱❏ b ❑ ▲▼◆❖ P◗❘ R1 ≤ |z − b| ≤ R2 ❙❚❯✲✳✹ ❱❲❳❖ ❘ ❨◆❩❬ z ✴✹ f(z) ✰❏❭❅❆✭✶✷❑ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n , R1 < |z − b| < R2, ❪ ❫ an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ, C ❴❖❘ ❨❵ ❨▲✪❛◆❩❜✪❝❞❡ ❢❣ (❤✐ 7.1) ❇ ❥ 7.1 Laurent ❦❧ ♠ ✿ ❖ ❘ ◆ ❨ ✸♥♦♣qr❑ C1 s C2 ✹ ❱t✉✈✇①◗❘◆ Cauchy ②♣③④✹✺ f(z) = 1 2π i I C2 f(ζ) ζ − z dζ − 1 2π i I C1 f(ζ) ζ − z dζ. ❲❳ C2 ❙◆②♣✹✰❏⑤⑥⑦❭❏⑧◆⑨⑩✹ 1 2π i I C2 f(ζ) ζ − z dζ = X∞ n=0 an(z − b) n , |z − b| < R2, an = 1 2π i I C2 f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ. ❲❳ C1 ❙◆②♣ − 1 2π i I C1 f(ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C1 f(ζ) (z − b) − (ζ − b) dζ = 1 2π i I C1 f(ζ) z − b X∞ k=0  ζ − b z − b k dζ = X∞ k=0 (z − b) −k−1 · 1 2π i I C1 f(ζ)(ζ − b) kdζ. ❶ −k − 1 = n, k = −(n + 1) ✹ ❱ − 1 2π i I C1 f(ζ) ζ − z dζ = X−∞ n=−1 (z − b) n · 1 2π i I C1 f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ = X−∞ n=−1 an(z − b) n , |z − b| > R1, ❪ ❫ an = 1 2π i I C1 f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ