§71解析函数的 Laurent展开 把两部分合并起来,就有 f(2)=∑an(2-b)n,R1<|z-b<R2 n=一c n=2m9 这个结果称为函数f(x2)在环域R1<|z-b<R内的 Laurent展开,其中的级数称为 Laurent级 这里把亲数an公式中的积分围道统一写成了C.(为什么能这样做?) 讨论: ★ Laurent展开的条件也可以放宽为f(x)在R1<|2-b<B2内单值解析 ★对于 Laurent展开来说,系数(即使是正幂项的系数) f(2)在内圆C1中不解析.一般说来,在C1上是有奇点的.至于b点,可能是f(2)的奇点 也可能是f(x)的解析点 ·如果b点是C2内的唯一奇点,则C1可以无限缩小,收敛范围就变成0<|z-b<R 这时就得到f(z)在孤立奇点b的邻域内的 Laurent展开 外圆C2的半径也可以为∞,甚至在∞点也收敛 ★ Laurent晨开既有正幂项,又有负幂项. 正幂项在圆C2内(z-b<R2)绝对收敛,在C2内的任意一个闭区域中一致收敛,称 为 Laurent级数的正则部分; ·负幂项在圆C1外(z-b>R1)绝对收敛,在C1外的任意一个闭区域中一致收敛,称 为 Laurent级数的主要部分 两部分合起来,就构成 Laurent级数,在环域 R1<|z-b<R2 内绝对收敛,在环域内的任意一个闭区域中一致收敛 当R1=0时, Laurent级数的主要部分就完全反映了f(z)在z=b点的奇异性Wu Chong-shi §7.1 ✄☎✆✝✞ Laurent ☛☞ ✍ 2 ✎ ❷❸❹♣❡❺❻❼✹ ❉✺ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n , R1 < |z − b| < R2, an = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − b) n+1 dζ. ❈✫⑨⑩❽❑✬✭ f(z) ✱❖ ❘ R1 < |z − b| < R2 ❨ ◆ Laurent ✶✷✹❪ ❫ ◆❆✭❽❑ Laurent ❆ ✭❇ ❾❿➀ ➁➂ an ➃➄ ➅➆➇➈ ➉➊➋➌ ➍➎ ➏ C ❇ (➐➑ ➒➓❾➔→ ➣ ) ↔↕➙ F Laurent ✶✷◆❝➛➜✰❏➝➞❑ f(z) ✱ R1 < |z − b| < R2 ❨ ❚❯✲✳❇ F ❲❳ Laurent ✶✷❼➟✹➠✭ (➡➢❴➤❅➥◆➠✭) an 6= 1 n! f (n) (b). F f(z) ✱ ❨ ▲ C1 ❫➦✲✳❇✪➧➟❼✹✱ C1 ❙❴ ✺❁✴◆❇➨❳ b ✴✹✰➩❴ f(z) ◆❁✴✹ ➜✰➩❴ f(z) ◆✲✳✴❇ • ➫⑩ b ✴❴ C2 ❨ ◆➭✪❁✴✹ ❱ C1 ✰❏➯➲➳➵✹ ➸➺➻ ➼❉➽❄ 0 < |z −b| < R ❇ ❈✻❉❊❋ f(z) ✱➾➚❁✴ b ◆➪❘ ❨◆ Laurent ✶✷❇ • ✸ ▲ C2 ◆➶➹➜✰❏❑ ∞ ✹➘➨✱ ∞ ✴➜➸➺❇ F Laurent ✶✷➴✺ ➤❅➥✹➷✺➬❅➥❇ • ➤❅➥✱ ▲ C2 ❨ (|z − b| < R2) ➮ ❲➸➺✹✱ C2 ❨ ◆❩❜✪✫❞◗❘ ❫✪➱➸➺✹❽ ❑ Laurent ❆✭◆➤❱❹ ♣✃ • ➬ ❅➥✱ ▲ C1 ✸ (|z − b| > R1) ➮ ❲➸➺✹✱ C1 ✸◆❩❜✪✫❞◗❘ ❫✪➱➸➺✹❽ ❑ Laurent ❆✭◆❐✾❹♣❇ • ❸❹♣❡❻❼✹ ❉❒❄ Laurent ❆✭✹✱❖ ❘ R1 < |z − b| < R2 ❨ ➮ ❲➸➺✹✱❖ ❘ ❨◆❩❜✪✫❞◗❘ ❫✪➱➸➺❇ • ❮ R1 = 0 ✻ ✹ Laurent ❆✭◆❐✾❹♣ ❉❰ÏÐÑ✯ f(z) ✱ z = b ✴◆❁ÒÓ❇