4.2.1正交表 (1)正交表的正交性及其变换 在线性代数中，两个向量(a1,a,…,an)和(b1,b2,…,bn),如果其内积等于零，即 aib1+ab2+…+anbn=0 则称该二向量正交。 正交表的每一列可以看成是一个列向量，由于正交表中数字是表示因素水平的记号，而水 平记号用什么符号表示是无本质区别的，对于二水平正交表，我们可以把水平记号1、2分别 用一1和+1来代替。根据正交表的定义，任意两列构成的水平对是一个“完全有序对”，即 (一1，一1)，(-1，+1)，(+1，一1)，(+1，+1)重复的次数相同，则 入[(-1)×(-1)+(-1)×(+1)+(+1)×(-1)+(+1)×(+1)]=0 也就是说，二水平正交表任意两列是正交的。 推广到多于二水平的正交表，其任意两列构成的水平对是搭配均衡的，则称这两列是正交 的，这就是正交表名称的由来。 根据正交表的定义，首先，表的各列地位是平等的，因此各列位置可以置换：其次，用正 交表安排试验时，试验的次序可以是任意的，也就是说表的各行位置可以置换，再者，因素水 平的次序也可以任定，即同一列中水平记号可以置换。正交表的列间置换、行间置换和同一列 中水平记号的置换，称为正交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的 (或同构的)。 (2)正交表的定义 设A是n×k矩阵，它的第j列元素由数字1,2,3，…，m所构成（或者为方便起见，也 可用别的符号来代替这些数字)，如果矩阵A的任意两列都搭配均衡，则称A是一个正交。其 中任意两列所构成的都是完全有序对，即(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)每对数字都出现两次。 因此矩阵A是一个正交表。 由正交表的定义可直接推出以下两个性质：每一列中各水平出现的次数相同。任意两列所 构成的水平对中，每个水平对重复出现的次数相同。 (3)正交表的种类 在多因素的正交试验中。常把正交表写成表格的形式，并在其左旁写上行号（试验号）， 在其上方写上列号（因素号）。此外还把这样的正交表简记为 Ln(miX m2x...mk) 式中L为正交表的代号，n表示这张正交表共有n行（安排n次试验），而ml×m2×… mk则表示次表有k列（最多安排k个因素），并且第j列的因素有mj个水平。 常见的水平数相同的正交表有 二水平正交表：L4(2),Lg(2),L122"),L16(25),L2),L64(23),L12s(22)等： 三水平正交表：L,(3,L2(35),L81(30,L24s(32)片 四水平正交表：L16(4),L64(42: 五水平正交表：L25(5),L125(53): 七水平正交表：L49(7)。4.2.1 正交表 （1）正交表的正交性及其变换 在线性代数中，两个向量(a1，a2，„，an)和(b1，b2，„，bn)，如果其内积等于零，即 a1b1＋a2b2＋„„＋anbn＝0 则称该二向量正交。 正交表的每一列可以看成是一个列向量，由于正交表中数字是表示因素水平的记号，而水 平记号用什么符号表示是无本质区别的，对于二水平正交表，我们可以把水平记号 1、2 分别 用－1 和＋1 来代替。根据正交表的定义，任意两列构成的水平对是一个“完全有序对”，即 (－1，－1)，(－1，＋1)，(＋1，－1)，(＋1，＋1)重复的次数相同，则 λ[(－1)×(－1)＋(－1)×(＋1)＋(＋1)×(－1)＋(＋1)×(＋1)]＝0 也就是说，二水平正交表任意两列是正交的。 推广到多于二水平的正交表，其任意两列构成的水平对是搭配均衡的，则称这两列是正交 的，这就是正交表名称的由来。 根据正交表的定义，首先，表的各列地位是平等的，因此各列位置可以置换；其次，用正 交表安排试验时，试验的次序可以是任意的，也就是说表的各行位置可以置换，再者，因素水 平的次序也可以任定，即同一列中水平记号可以置换。正交表的列间置换、行间置换和同一列 中水平记号的置换，称为正交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的 (或同构的)。 （2）正交表的定义 设 A 是 n×k 矩阵，它的第 j 列元素由数字 1，2，3，„，mj所构成(或者为方便起见，也 可用别的符号来代替这些数字)，如果矩阵 A 的任意两列都搭配均衡，则称 A 是一个正交。其 中任意两列所构成的都是完全有序对，即(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)每对数字都出现两次。 因此矩阵 A 是一个正交表。 由正交表的定义可直接推出以下两个性质：每一列中各水平出现的次数相同。任意两列所 构成的水平对中，每个水平对重复出现的次数相同。 （3）正交表的种类 在多因素的正交试验中。常把正交表写成表格的形式，并在其左旁写上行号（试验号）， 在其上方写上列号（因素号）。此外还把这样的正交表简记为 Ln(m1×m2ׄmk) 式中 L 为正交表的代号，n 表示这张正交表共有 n 行（安排 n 次试验），而 m1×m2ׄ mk 则表示次表有 k 列（最多安排 k 个因素），并且第 j 列的因素有 mj 个水平。 常见的水平数相同的正交表有 二水平正交表：L4(23 )，L8(27 )，L12(211)，L16(215)，L32(231)，L64(263)，L128(2127)等； 三水平正交表：L9(34 )，L27(313)，L81(340)，L243(3121)； 四水平正交表：L16(45 )，L64(421)； 五水平正交表：L25(56 )，L125(531)； 七水平正交表：L49(78 )