由引理60≤(A,)≤可=0.因此(4)=0.,m21.由测度的下连续性得 (A)=limp(A)=0.这表明∫=0ae.画 定理8若∫可积,则∫几乎处处有限 证明设∫可积由定理5知道/可积令 A={=+∞,A={/≥n},n21 则{A4}是单调减少的并且A=∩A2由引理6得到 05(4,)≤几∫1du,m21 (7) 注意到(4)≤<+∞,由测度的上连续性和()得以()=lm(4,)=0这表明 <+o,a.e.■ 定理9(积分的绝对连续性)若∫可积,则对任意E>0,存在相应的δ>0,使得当 (4)<时,成立∫/dy<E 证明设∫可积,则可积设{gn}是非负简单函数列使得gn↑团由积分的定义 lim g, du=jIdu s +oo 于是对任意E>0,存在自然数n使得0≤0-8m)d如<5令M=spB8n(x)则 0<M<+0.再令2A,则对任意可测集A,当(A)<δ时 ∫d=J,(r-)d+J:d<2+M(40< 小结本节介绍了一般测度空间上积分的一些基本性质一般测度空间上的积分,除了 具有一些经典积分所具有的性质,如线性性质和对被积函数的单调性等性质外还具有一些 新的特点,如积分的绝对连续性 Chebyshev不等式等另外,∫可积当且仅当/可积这个性 质是与经典积分有重要差别的 习题习题四,第5题一第15题101 由引理 6, ∫ 0 ≤ µ(A ) ≤ n fdµ = 0. n 因 此 (A ) = 0, n ≥ 1. µ n 由测度的下连续性得 ( ) = lim ( ) = 0. →∞ n n µ A µ A 这表明 f = 0 a.e..■ 定理 8 若 f 可积, 则 f 几乎处处有限. 证明 设 f 可积. 由定理 5 知道 f 可积.令 A = { f = +∞}, A = { f ≥ n}, n ≥ 1. n 则{ } An 是单调减少的并且 . 1 ∩ ∞ = = n A An 由引理 6 得到 ∫ ≤ ≤ , ≥ 1. 1 0 ( ) f d n n µ An µ (7) 注意到 ( ) , 1 ∫ µ A ≤ f dµ < +∞ 由测度的上连续性和(7)得 ( ) = lim( ) = 0. →∞ n n µ A A 这表明 f < +∞, a.e..■ 定理 9 (积分的绝对连续性)若 f 可积, 则对任意ε > 0, 存在相应的δ > 0, 使得当 µ(A) < δ 时, 成立 . A f dµ <ε ∫ 证明 设 f 可积, 则 f 可积.设{ } gn 是非负简单函数列使得 g f . n ↑ 由积分的定义, lim . ∫ ∫ = < +∞ →∞ gn dµ f dµ n 于是对任意 ε > 0, 存在自然数 n0 使得 . 2 0 ( ) ∫ 0 ≤ − < ε f gn dµ 令 sup ( ), 0 M g x n x∈X = 则 0 < M < +∞ . 再令 , 2M ε δ = 则对任意可测集 A, 当 µ(A) < δ 时, 0 0 ( ) () . 2 n n AA A fd f g d g d M A ε µ = − + <+ < µ µ µε ∫∫ ∫ ■ 小 结 本节介绍了一般测度空间上积分的一些基本性质.一般测度空间上的积分,除了 具有一些经典积分所具有的性质, 如线性性质和对被积函数的单调性等性质外,还具有一些 新的特点, 如积分的绝对连续性,Chebyshev 不等式等.另外, f 可积当且仅当 f 可积这个性 质是与经典积分有重要差别的. 习 题 习题四, 第 5 题—第 15 题