(i)若(4)=0,则对任意可测函数f,有fx=0 证明(i).由于∫=0ae.,因此对任意可测集A,4=0ae.由定理3(i)得到 fdu=Adu=0 (i)若(A)=0,则对任意可测函数,f1=0ae.同上面一样得|a=0.■ 由定理3知道,在一个零测度集上改变一个函数的函数值,不改变该函数的可积性和 积分值.因此,在讨论可测函数积分的性质的时候,可测函数所要满足的条件通常只需要几 乎处处成立就可以了 定理5设∫是可测函数.则 ()若∫的积分存在,则6sa (i)∫可积当且仅当/可积 证明)由于-1/s由定理3- dus s jIedu,这表 (i)若∫可积,则∫和厂都可积于是|=f+f也可积反过来,设可积 由于∫≤1,fs|故∫和厂都可积从而∫=f-f也可积■ 将定理5应用到 Lebesgue积分上得到, f lebesgue可积当且仅当 Lebesgue可积 但我们知道/在区间[ab]上 Riemann可积不能蕴涵 f Riemann可积因此这是两种积分 的又一不同之处 在继续讨论积分的性质之前,先证明一个有用的不等式.这个不等式有时称为 Chebyshev不等式 引理6设∫是一个可测函数.则对任意A>0,成立 u(x:/(x)2x )sIdu 证明由于在≥}上(x)21.由定理3,我们有 (≥4)2=∫d≤1 d nIka 定理7若∫是一个非负可测函数并且∫d=0,则∫=0ae 证明令A=1>0),A={>m1,n21.则{4}是单调增加的并且4=∪4100 (ii).若 µ(A) = 0, 则对任意可测函数 f , 有 0. A ∫ fdµ = 证明 (i).由于 f = 0 a.e., 因此对任意可测集 A , = 0 a.e.. A fI 由定理 3 (ii) 得到 0. A A ∫ ∫ fd fI d µ µ = = (ii).若 µ(A) = 0, 则对任意可测函数 f , = 0 a.e.. A fI 同上面一样得 0. A ∫ fdµ = ■ 由定理 3 知道, 在一个零测度集上改变一个函数的函数值, 不改变该函数的可积性和 积分值. 因此, 在讨论可测函数积分的性质的时候, 可测函数所要满足的条件通常只需要几 乎处处成立就可以了. 定理 5 设 f 是可测函数. 则 (i).若 f 的积分存在, 则 fdµ f dµ. ∫ ∫ ≤ (ii). f 可积当且仅当 f 可积. 证 明 (i). 由 于 − f ≤ f ≤ f , 由定理 3, ∫ ∫ ∫ − f dµ ≤ fdµ ≤ f dµ. 这表明 ∫ ∫ fdµ ≤ f dµ. (ii).若 f 可积, 则 + f 和 − f 都可积. 于是 + − f = f + f 也可积. 反过来, 设 f 可积. 由于 f ≤ f , f ≤ f , + − 故 + f 和 − f 都可积. 从而 + − f = f − f 也可积.■ 将定理 5 应用到 Lebesgue 积分上得到, f Lebesgue 可积当且仅当 f Lebesgue 可积. 但我们知道 f 在区间[a, b] 上 Riemann 可积不能蕴涵 f Riemann 可积. 因此这是两种积分 的又一不同之处. 在继续讨论积分的性质之前, 先证明一个有用的不等式. 这个不等式有时称为 Chebyshev 不等式. 引理 6 设 f 是一个可测函数. 则对任意λ > 0, 成立 . 1 ({ : ( ) }) ∫ ≥ ≤ µ λ µ x f x λ f d 证明 由于在{ f ≥ λ}上, ( ) 1. 1 f x ≥ λ 由定理 3, 我们有 { } { } 1 1 ({ }) . f f f I d fd f d λ λ µ λ µ µµ λ λ ≥ ≥ ≥= ≤ ≤ ∫ ∫ ∫ ■ 定理 7 若 f 是一个非负可测函数并且 ∫ fdµ = 0, 则 f = 0 a.e.. 证明 令 }, 1. 1 = { > 0}, = { > n ≥ n A f A f n 则{ } An 是单调增加的并且 . 1 ∪ ∞ = = n A An