∫(+g) dusts.du+∫ 由于+g有意义因此广d+」gd和J厂d+gd中至少有一项是有 限的不妨设∫fd+gd<+.则由5)得到(+g)d<+从3)式两边减去 ∫+g)dk dy得到 ∫(+gd=∫(+g)d-j(+g fdu-Ifdu d ∫+∫s 这表明∫+g的积分存在并且(2)式成立■ 定理2设∫在可测集E上的积分存在,则 (i).∫在E的任意可测子集上的积分也存在 (i).设A,B是E的可测子集并且A∩B=.则成立 C fdu=f fdu+Sjduo 特别地,在(i)和(i)中将积分存在换成可积,结论仍成立 证明由积分的定义容易知道(1)成立.下面证明(i).由(i)知道(6)式中的积分都存在 并且(6)式右边的和式有意义.由定理1得到 ∫=Jm4=J(m+nDMd f4d+|n2d4=f4+ 定理3设∫g的积分存在,则 ()若f≤gae,则dsgd )若=gae,则= 证明由于∫≤gae,易知有∫*≤gae.,f≥gae.由41定理s(i),我们有 ∫广ds」gdu,∫d」gd.于是 ∫=∫fd-」ds」sd-」sd=Jg 因此(1)得证由(1)立即得到(i)■ 推论4()若∫=0ae,则对任意可测集A,有f=099 ( ) . ∫ ∫ ∫ − − − f + g dµ ≤ f dµ + g dµ (5) 由于 ∫ ∫ fdµ + gdµ 有意义, 因此 ∫ ∫ + + f dµ + g dµ 和 ∫ ∫ − − f dµ + g dµ 中至少有一项是有 限的.不妨设 + < +∞. ∫ ∫ − − f dµ g dµ 则由(5)得到 ( + ) < +∞. ∫ − f g dµ 从(3)式两边减去 µ ∫ − ( f + g) d ∫ ∫ − − + f dµ + g dµ 得到 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + = − + − + = + − + + − + − + − . ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ µ µ µ µ µ fd gd f d f d g d g d f g d f g d f g d 这表明 f + g 的积分存在并且(2)式成立. ■ 定理 2 设 f 在可测集 E 上的积分存在, 则 (i). f 在 E 的任意可测子集上的积分也存在. (ii).设 A,B 是 E 的可测子集并且 A ∩ B = ∅. 则成立 . AB A B fd fd fd µ µ µ ∪ ∫ ∫∫ = + (6) 特别地, 在(i) 和(ii) 中将积分存在换成可积, 结论仍成立. 证明 由积分的定义容易知道(i) 成立. 下面证明(ii). 由(i) 知道(6)式中的积分都存在. 并且(6)式右边的和式有意义. 由定理 1 得到 ( ) . AB A B A B A B A B fd fI d fI fI d fI d fI d fd fd µµ µ µ µµµ ∪ ∪ = =+ = + =+ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ■ 定理 3 设 f ,g 的积分存在, 则 (i).若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ. (ii).若 f = g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ = gdµ. 证明 由于 f ≤ g a.e., 易知有 a.e. + + f ≤ g , a.e. − = f ≥ g 由§4.1 定理 5 (iii), 我们有 ∫ ∫ + + f dµ ≤ g dµ, ∫ ∫ − − f dµ ≥ g dµ.. 于是 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = − ≤ − = + − + − fdµ f dµ f dµ g dµ g dµ gdµ. 因此(i) 得证.由(i) 立即得到(ii).■ 推论 4 (i).若 f = 0 a.e., 则对任意可测集 A , 有 0. A ∫ fdµ =