《数学分析(1,2,3)》教案 第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 §1.关于实数的基本定理 子列 定义1在数列{xn}中,保持原来次序自左至右任一选区无限多项,构成新的数列,就称为(x}的子列,记 为 子列的极限和原数列的极限的关系 定理1若imx=a,则{x}的任何子列}都收敛,并且它的极限也等于a 注:该定理可用来判别{xn}不收敛。 例:证明{sin}不收敛。 推论:若对任何{x}x→x,x≠x,都有{(x)收敛,那么f(x)在x的极限存在 二上确界和下确界 上确界的定义,下确界的定义 定理2非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界 定理3单调有界数列必收敛 区间套定理 区间套:设{an,bn]}是一闭区间序列若满足条件 i>对Vn,有[an1,bn]c[an,bn] 0,(n→∞) 则称该闭区间序列为为区间套 注:区间套是指一个“闭、缩、套”区间列 例:{-1.1 }和{[0,-]}都是区间套但{[1+ ,1+=]}都不是 定理4设{[an,b]}是一闭区间套.则存在唯一的点ξ属于所有的区间 注:区间套中的任何一个条件去掉,定理一般将不成立。 四致密性定理 定理5任一有界数列必有收敛子列。 推论若{x}是一个无界数列,则存在子列xn→∞。 五 Cauchy收敛原理 1《数学分析（1，2，3）》教案 3-1 第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 §1. 关于实数的基本定理 一 子列 定义 1 在数列 xn 中，保持原来次序自左至右任一选区无限多项，构成新的数列，就称为 xn 的子列，记 为 xnk 。 子列的极限和原数列的极限的关系 定理 1 若 lim n n x a → = ，则 xn 的任何子列 xnk  都收敛，并且它的极限也等于 a 。 注：该定理可用来判别 xn 不收敛。 例：证明 sin 3   n     不收敛。 推论：若对任何 xn： 0 0 , , n n x x x x →  都有  f x( n ) 收敛，那么 f x( ) 在 0 x 的极限存在。 二 上确界和下确界 上确界的定义，下确界的定义 定理 2 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界。 定理 3 单调有界数列必收敛. 三 区间套定理 区间套: 设 {[ , ]} an bn 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ> 对  n, 有 [ , ] an+1 bn+1  [ , ] an bn ; ⅱ> − → 0, bn an (n → ). 则称该闭区间序列为为区间套 . 注：区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 例： ]} 1 , 1 {[ n n − 和 ]} 1 {[ 0 , n 都是区间套.但 ]} 2 , 1 ( 1) {[1 n n n + − + 都不是. 定理 4 设 {[ , ]} an bn 是一闭区间套. 则存在唯一的点  属于所有的区间。 注：区间套中的任何一个条件去掉，定理一般将不成立。 四 致密性定理 定理 5 任一有界数列必有收敛子列。 推论 若 xn 是一个无界数列，则存在子列 k n x → 。 五 Cauchy 收敛原理