可( Orietation),你转的时候,死2个相反转的方向.转的时候,假使改了方向 的话,成可比是负值,因此我们一个结论是多重积分的 Integral应该是一个外 代数多项式,是dr,dy的多项式,乘法是反对称,这样换变数完全可以对的 当然我只做了2维的例子.高维是很明显的,同样的外乘法是妙得很呐,是 不会死高次的,所以比较简单,平方一下,就是0 4外微分 上面讲了这么样一种关系,甚概这关系还更要好,我们讲高等微积分的时候, 个重要的定理是格林定理( Green' s Theorem).就是说,假使你死个区域, 在边界上的微分是可以变为区域上的微分,是一个一重积分和二重积分的 关系,这是个非常重要的关系.比方龚升教授死一本小书,讲到这个关系,他 认为这是整个微积分的基本定理,我是同意的.这样的关系现在通常写格林 定理的时候,优优是写成死积分 ab aA Adr +bdy=ar ay 如果死一个问题,死时候你可以只管 Integral,不要管其它,那么 Integral就是 把一个一次微分式变为两次微分式,这儿么变呢?公式定理是这样子:我就 引入一个外微分,我们刚才讲 d r A dy是一个多项式,是一个外代数的一个 式子,就象我们普通多项式一样,不但如此,对于这样的式子,我们还可以定 义它一个微分, d(Ad. + Bdy)=dan dx+dB ndy= Aydy A dr + Brd r A dy. (1.10) 叫外微分( Exterior differential calculus).外微分很简单,假设死Adx+Bdy, 它的微分就是微分它的系数,也就是微分函数.A与B是x,y的函数,所以 就微分A,B.A的微分就是Adx+A2dy,B的微分就是Bdx+Bdy,可 是Adx∧dx=0就得到Ady∧dx,第二项就得Bdx∧dy.但是因为乘法是 反对称的,所以就得(Bx-A),这是格林定理里头2重积分的系数,所以格林 定理把单次积分变成两次积分,它的 Integral实际上是个外微分.可以看出外 5✺(Orietation),✜Ý④✣⑧, ❿2➬★✬Ý④✵✺. Ý④✣⑧, ✧✫➉ê✵✺ ④➏, ➘✱✞✹❿❾, ❖✩➲➣✘➬❼❳✹õ➢è■④Integral❛➈✹✘➬✐ ❙❥õ✶✯, ✹dx, dy④õ✶✯, ➷✛✹✬é➪, ❨ø➛★❥q❭✱✶é④, ❤❧➲➄✮ê2➅④➽✝. ➦➅✹✐Ò✗④, ✸ø④.✐➷✛✹➱③✐þ, ✹ ❳❒❿➦✬④, ➘✶✞✈❀❭, ➨✵✘✆,Ò✹0. 4 ✐❻■ Þ➪❨ê❨➃ø✘➠✞ø, ☎➊❨✞ø↕❮✞P, ➲➣❨➦⑧❻è■④✣⑧, ✘➬➢✞④➼➤✹➶õ➼➤(Green’s Theorem). Ò✹⑨, ✧✫✜❿➬❑➢, ó✣➂Þ④❻■✹✱✶★➃❑➢Þ④❻■, ✹✘➬✘➢è■❩✓➢è■④ ✞ø, ❨✹➬✿➒➢✞④✞ø. ✞✵×☞s●❿✘ý❇❱, ❨t❨➬✞ø, ➷ ⑨➃❨✹r➬❻è■④äý➼➤, ➲✹✸❄④. ❨ø④✞ø✙ó✴➒❯➶õ ➼➤④✣⑧, ⑨⑨✹❯➘❿è■, Z γ Adx + bdy = (∂B ∂x − ∂A ∂y )dxdy. (1.9) ➌✯❿✘➬➥☛, ❿✣⑧✜✱✶➄☛Integral, ❳✞☛Ù➬, ￾➃IntegralÒ✹ ➨✘➬✘✬❻■✯★➃Ü✬❻■✯, ❨✍➃★✑ÚÚ✯➼➤✹❨ø✝: ➲Ò ❩➐✘➬✐❻■, ➲➣➛❜❨dx ∧ dy ✹✘➬õ✶✯, ✹✘➬✐❙❥④✘➬ ✯✝, Ò✻➲➣✃✴õ✶✯✘ø,❳❜➌✩, é➉❨ø④✯✝, ➲➣↕✱✶➼ ❇➬✘➬❻■, d(Adx + Bdy) = dA ∧ dx + dB ∧ dy = Aydy ∧ dx + Bxdx ∧ dy. (1.10) ✇✐❻■(Exterior differential calculus). ✐❻■✐❀❭, ✧÷❿Adx + Bdy, ➬④❻■Ò✹❻■➬④ø❥, ✎Ò✹❻■❁❥. A➛B✹x, y④❁❥, ➘✶ Ò❻■A, B . A④❻■Ò✹Axdx + Aydy, B④❻■Ò✹Bxdx + Bydy, ✱ ✹Axdx ∧ dx = 0 Ò③tAydy ∧ dx, ➅✓✶Ò③Bxdx ∧ dy. ❜✹❖➃➷✛✹ ✬é➪④, ➘✶Ò③(Bx − Ay), ❨✹➶õ➼➤➦❃2➢è■④ø❥, ➘✶➶õ ➼➤➨❭✬è■★➘Ü✬è■, ➬④Integral✧✓Þ✹➬✐❻■. ✱✶✗ñ✐ 5