样定微分的定义跟究竟什地是dx,这个很麻烦,可以做到很道意,不过把它 讲清楚需要有一定的时间.究以我马马虎虎说有一个dx.在dxr,dy这种微分 之间要建立乘法∧.什地叫dx∧dy?这个问题更复杂了,你如果dx,dy本身 是什地都不清楚,乘了以后是什地东西更是一个很微妙困难的问题.在这方 面有一个大的进步,就是引进很代数和很微分.假定dx∧dy这个乘法是反对 称 这个问题就清楚简单了.因为乘法如果是反对称的话,当然 dx adx=0.事 假上,因为dx∧dr=- dr a dx,究以 dx a dx=0,在反对称的乘法之下, 把 daa dy看成变数,因为乘法是反对称的,dx2=0,究以就没有高次的东西 了.这样得到的代数叫做很代数.这个代数很妙的.有一个立刻的结论:换 变数公式为 dx n dy= o(a, y) o(,yrrda'ndy 假使我们的微分用的是偏微分,究以 现在用很乘法一乘,dr'Adr'=dy∧dy=0.而dx∧dy/因为乘法是反对称 的,究以是瘟好乘以x=x(x,y),y=y(x,)的所可比a,这个符号是 所可比,是四个偏微分究成的行列式,究以 a(,ydra d(a, y) 这个瘟巧是我们重积分换变数的一个关系我们知道重积分要是换变数的 话,它应该乘上所可比.究以这个结论就是,对重积分的 Integra,即积分下 的式子,把积分号丢掉, Integra是一个微分多项式,乘法是反对称的.究以 假使多重积分有3维,4维到n维的空间,多重积分的 Integral可看成是很代 数的多项式,那地换变数就自然对了.这里头有一点微妙的地方,因为通 常,你要证明换变数的公式的时候,假定所可比是正的,不然的话,乘上所 可比的绝对值,使它是正的.这个是高维几何微妙的东西,就是空间有个ø➼❻■④➼❇❐➘➽✤➃✹dx, ❨➬✐❢✫, ✱✶✮t✐✇❄, ❳✱➨➬ ❨✽ù❽✞❿✘➼④✣✲. ➘✶➲❥❥➁➁⑨❿✘➬dx. ódx, dy❨➠❻■ ❷✲✞❖➪➷✛∧. ✤➃✇dx ∧ dyÚ❨➬➥☛❮❹ìê, ✜➌✯dx, dyýü ✹✤➃Ñ❳✽ù, ➷ê✶⑨✹✤➃➚Ü❮✹✘➬✐❻➱❤✡④➥☛. ó❨✵ ➪❿✘➬▲④➓❩, Ò✹❩➓✐❙❥❩✐❻■. ✧➼dx ∧ dy❨➬➷✛✹✬é ➪, dx ∧ dy = −dy ∧ dx. (1.5) ❨➬➥☛Ò✽ù❀❭ê. ❖➃➷✛➌✯✹✬é➪④➏,❤❧dx ∧ dx = 0. ✴ ✧Þ, ❖➃dx ∧ dx = −dx ∧ dx, ➘✶dx ∧ dx = 0, ó✬é➪④➷✛❷✆, ➨dx ∧ dy✗➘★❥, ❖➃➷✛✹✬é➪④, dx2 = 0, ➘✶Ò➊❿➦✬④➚Ü ê. ❨ø③t④❙❥✇✮✐❙❥. ❨➬❙❥✐➱④. ❿✘➬➪✴④❼❳Õ➛ ★❥Ú✯➃ dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(x 0 , y0 ) dx0 ∧ dy0 . (1.6) ✧✫➲➣④❻■⑦④✹➔❻■, ➘✶ dx = ∂x ∂x0 dx0 + ∂x ∂y0 dy0 , dy = ∂y ∂x0 dx0 + ∂y ∂y0 dy0 . (1.7) ✙ó⑦✐➷✛✘➷, dx0 ∧ dx0 = dy0 ∧ dy0 = 0. ✌dx0 ∧ dy0❖➃➷✛✹✬é➪ ④, ➘✶✹➛P➷✶x = x(x 0 , y0 ), y = y(x 0 , y0 ) ④➘✱✞ ∂(x,y) ∂(x0 ,y0) , ❨➬♥❘✹ ➘✱✞, ✹➃➬➔❻■➘➘④qï✯, ➘✶ dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(x 0 , y0 ) dx0 ∧ dy0 . (1.8) ❨➬➛✜✹➲➣➢è■➛★❥④✘➬✞ø.➲➣⑧✇➢è■✞✹➛★❥④ ➏, ➬❛➈➷Þ➘✱✞. ➘✶❨➬❼❳Ò✹, é➢è■④Integral, ýè■✆ ④✯✝, ➨è■❘➾➠, Integral✹✘➬❻■õ✶✯, ➷✛✹✬é➪④. ➘✶ ✧✫õ➢è■❿3➅, 4➅tn ➅④✽✲, õ➢è■④Integral✱✗➘✹✐❙ ❥④õ✶✯, ￾➃➛★❥Ò✞❧éê. ❨➦❃❿✘➎❻➱④➃✵, ❖➃✴ ➒, ✜✞②Ò➛★❥④Ú✯④✣⑧, ✧➼➘✱✞✹t④, ❳❧④➏, ➷Þ➘ ✱✞④ýé❾, ✫➬✹t④. ❨➬✹➦➅✁❬❻➱④➚Ü, Ò✹✽✲❿➬ 4