18.某炮群每次齐射时，命中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，试利用中心极限定 理求在100次独立射击时有170发到215发炮弹命中目标的概率。(6分) 1第次命中目标 解设50第次未命中目标，1210)，以5表示10次独立射击时命中目标的 100 总次数，即5=∑5·由题意得E5,=2,D5,=1.52, (3分) 根据独立同分布中心极限定理知，在100次独立射击时有170发到215发炮弹命中目标的概率为 R175s5≤215=175-100x2≤f-10x2s215-100x2 10×1.5 10×1.5 10×1.5 ）=Φ(1.5)+Φ(53)1(3分) 四.证明和分析(14分) 19.设仁，}为相互独立的随机变量序列，P(5=±厅)=，P(,0)=1-2 n=2,3,…, n n 证明{5}服从大数定理。(7分) 证明：由于E5n=0x(1-2n+Vn×1n+(Vn)x1m=-0,D5n=0x(1-2n)mx1/a+n×1/n=-2 令n.=1n∑5n2,3.则En。=0,Dn.=2n (4分) 对任意的6>0，由契贝晓夫不等式可知P7。-E门nKe)≥1-2m2),故有 mP刀。-E,K6户l.从而{5，)服从大数定律 (3分) 20.己知二维随机变量(5，η)如下，试考察刀与5的独立性和线性不相关性(7分) 1 0 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 解：由于5，n的分布函数均为 3/82/83/8).易见P5=0,7=00≠R5=0P=0. -101 故5，n不独立 (3分) 但由于E5=En=(-1)×3/8+1×3/8=0,E5n=(-1)×(1)×3/8+(-1)×1×38+1 ×(-1)×3/8+1×1×3/8=0,即有 Cov(5,n)=E5-E5En=0,故5，n不相关 18．某炮群每次齐射时，命中目标的炮弹数的数学期望为 2，标准差为 1.5，试利用中心极限定 理求在 100 次独立射击时有 170 发到 215 发炮弹命中目标的概率。（6 分） 解 设 i  =    第 次未命中目标 第 次命中目标 i i 0 1 , (i=1,2,…100) , 以  表示 100 次独立射击时命中目标的 总次数, 即  == 100 i 1  i . 由题意得 E i  =2, D i  =1.5 2 , (3 分) 根据独立同分布中心极限定理知,在 100 次独立射击时有 170 发到 215 发炮弹命中目标的概率为 P(175    215)=P( 10 1.5 175 100 2  −   10 1.5 100 2   −   10 1.5 215 100 2  −  )=  (1.5)+  (5/3)-1 (3 分) 四．证明和分析（14 分） 19．设  n  为相互独立的随机变量序列，P（  n =  n ）= n 1 ，P（  n =0）=1－ n 2 ，n=2，3，…， 证明  n  服从大数定理。（7 分） 证明:由于 E  n =0  (1-2/n)+ n  1/n+(- n )  1/n=0; D  n =0  (1-2/n)+n  1/n+ n  1/n=2 令  n =1/n = n i i 1  ; n=2,3,…..,则 E  n =0, D  n =2/n (4 分) 对任意的  >0, 由契贝晓夫不等式可知 P(|  n -E  n |<  )  1− 2/(n 2  ), 故 有 n→ lim P(|  n -E  n |<  )=1. 从而{  n }服从大数定律. (3 分) 20．已知二维随机变量（  ， ）如下，试考察  与  的独立性和线性不相关性（7 分） 解:由于  , 的分布函数均为 ( 3/ 8 2 / 8 3/ 8 −1 0 1 ),易见 P(  =0,  =0)=0  P(  =0)P(  =0), 故  ， 不独立. (3 分) 但由于 E  =E  =(-1)  3/8+1  3/8=0, E   =(-1)  (-1)  3/8+(-1)  1  3/8+1  (-1 )  3/8+1  1  3/8=0, 即有 Cov (  , )=E   -E  E  =0, 故  , 不相关   －1 0 1 －1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8