In5-ill arctan--(2k+Irk=0,+1,+2 16.证明对数的下列性质:1)Ln(=1=2)=Ln1+Ln=2;2)Ln(=1/-2)=Ln=1-Ln=2 iEB 1) Ln(==,=In(==D+iArg==,=In z+In:, +iArg= +i Arg:,=Ln=+Lnz, 2)Ln(=1/2)=lm(1/=2D+iArg1/=2=ln1-ln=2+iArg1iArg=2=Ln=1-Lnz2 17.说明下列等式是否正确:1)Lnz2=2Lnz:2)Ln√z=Lnz。 解:两式均不正确。)Lnz2=2ln|z|+iArg(2z),而2Lnz=2ln||+2iArg(): 2)Ln√z=ln||+iArg(,而Lnz=n||+Arg() 5,c(+),y和0+分的值 1+i丌 3'=eLn=e[n3+ifarg 3+27)]=e 3=e-2(cos In3+isin In 3) k=0, +1,+2 (1+i)=e"n+)=e1(+2k In 2 19.证明(=")'=a,其中a为实数。 证明(二“)'=(e+2k)=a(nz)'ei+2k=a-x°=a。 20.证明1)ch2z-sh2z=1:2)sh2z+ch2z=ch2z; 3)sh(1+=)=sh- ch=2+ch= sh=2: ch(=1+=2)=ch= ch=2+sh=, sh=2 证明1)ch )sh=+ch 3) sha cha +ch: sha =(e-e e+e)+(e+e)se-e 88 ( ) 2 1 , 0, 1, 2," 3 4 ln 5 i arctan = ± ± ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − k + π k () () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 − + = − + + − + = + − 3 ln 3 4i ln | 3 4i | i arg 3 4i ln 5 i π arctan 。 16．证明对数的下列性质：1）Ln( ) Ln Ln 12 1 2 zz z z = + ；2） Ln( / ) Ln Ln 12 1 2 zz z z = − 。 证明 1）Ln( ) ln(| |) i Arg ln ln i Arg +i Arg 12 12 12 1 2 1 2 zz zz zz z z z z = + =++ Ln Ln 1 2 = + z z ； 2）Ln( / ) ln(| / |) i Arg / ln ln i Arg -i Arg 12 12 12 1 2 1 2 zz zz zz z z z z = + =−+ Ln Ln 1 2 = − z z 。 17．说明下列等式是否正确：1） 2 Ln 2Ln z z = ；2） 1 Ln Ln 2 z z = 。 解：两式均不正确。1） 2 Ln 2ln | | i Arg(2 ), 2Ln 2ln | | 2i Arg( ) z z z zz z =+ + 而 ＝ ； 2） 1 11 i Ln ln | | i Arg( ), Ln ln | | Arg( ) 2 22 2 z z z zz z =+ + 而 ＝ 。 18．求 2 1 i π − e ， 1 i exp 4 ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ＋ ， i 3 和( ) i 1+ i 的值。 解： e ee e i e 2 isin 2 cos 2 i 2 1 i ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − − − π π π π ( ) 11 1 i 44 4 4 1i 2 exp cos isin 1 i 4 4 42 ee e e π ⎛⎞ ⎛ ⎞ π ππ ⎜⎟ ⎜ ⎟ == = ⎝⎠ ⎝ ⎠ ＋ ＋ ＋ i iLn3 2 iln3 i ln3 i arg3 2 ( ) 3 k k e e ee ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ + + π − π == = = e−2kπ (cosln 3 + isin ln 3), k = 0,±1,±2," ( )i iLn 1 i ( ) i ln|1 i| i arg 1 i 2 [ ] ( ( ) ) 1 i k e e + ++ ++ π += = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 2 ln 2 isin 2 ln 2 cos 2 4 1 2 2 4 ln 2 i k k e e π π π ， k = 0,±1,±2," 19．证明 1 ( )' a a z az − = ，其中a 为实数。 证明 ln 2 ln 2 1 1 ( )' ( )' (ln )' a a z ki a z ki a a z e a z e a z az z + +− π π = = == 。 20．证明 1） 2 2 ch sh 1 z z − = ；2） 2 2 sh ch ch 2 zz z + = ； 3） ( ) 12 1 2 1 2 sh sh ch ch sh zz z z z z += + ；ch ch ch sh sh (zz z z z z 12 1 2 1 2 += + ) 。 证明 1） 22 2 2 ch sh ( ) ( ) 1 2 2 zz zz ee ee z z − − + − −= − = ； 2） 2 2 22 2 2 sh ch ( ) ( ) 1 222 zz zz z z ee ee e e z z −− − −+ + += + = = ； 3） 1 1 2 2 1 1 2 2 12 12 12 12 ( )( ) ( )( ) sh ch ch sh 4 42 z z z z z z z z zz zz ee ee ee ee e e zz zz − − − − + −− −+ +− − += + = ( ) 1 2 = + sh z z