21.解下列方程:1)shz=0:2)chz=0:3)shz=i。 解1)由$hz=0得e2、、、nl=ik丌,k=0,±12 2)由ch2=0得2=-1,z=1Lm-)=(2k+1)rk=0土1± 2 3)由$hz=i得e=i,z=Lni=i(2k+)丌,k=0,±1,±2,…。 23.证明:Shz的反函数 Arsh +√=2+1)。 证设sh=z, 即-e z→e"-2e"-1=0解得e"=z+√z2+1 2 故w= Arsh=Ln(z+√=2+1)。 4.已知平面流速场的复势f()为 (1)(+i):(2)x3; (3) 求流动的速度以及流线和等势线的方程 解(1)V(=)=f()=2(=+i)=2(-)为流速,又 f()=(+i)2={x+v+)=x2-(v+1)2+i2x(y+1) 知流线和等势线方程分别为x(+)=C1和x2-(y+1)=C2 (2)流速()=()=32=32,又f()-=3=x(2-3y2)+iy3x2-y2) 流线方程:(3x2-y)b=C1,等势线方程:x(2-3y2)=c (3)流速()=f()= 又f()= +1-12x y2+1+12xy 流线方程为 (x2-y2+1)+4x2y 等势线方程为 x2-y2+1)+4r12=C2°9 21．解下列方程：1）sh 0 z = ；2）ch 0 z = ；3）sh i z = 。 解 1）由sh 0 z = 得 2 1 z e = ， 1 Ln1 i , 0, 1, 2, 2 z kk = = = ±± π "。 2）由ch 0 z = 得 2 1 z e = − ， 1 (2 1) Ln( 1) i , 0, 1, 2, 2 2 k z k π + = − = = ±± "。 3）由sh i z = 得 i z e = ， 1 Ln i i(2 ) , 0, 1, 2, 2 z kk = = + = ±± π "。 23．证明:sh z 的反函数 2 Arsh Ln( 1) z zz = ++ 。 证 设sh w z = ， 2 2 10 2 w w e e w w z e ze − − 即 = ⇒ − −= 解得 2 1 w ezz = + + , 故 2 w z zz = = ++ Arsh Ln( 1) 。 24．已知平面流速场的复势 f ( )z 为 （1）( )2 z + i ； （2） 3 z ； （3） 1 1 2 z + ； 求流动的速度以及流线和等势线的方程。 解（1）V () () z = f ' z = 2( ) z + i = 2( ) z − i 为流速，又 () ( )i [ i( 1)] ( 1) i 2 ( 1) 2 2 2 2 f z = z + = x + y + = x − y + + x y + 知流线和等势线方程分别为 ( ) 1 C1 x y + = 和 ( ) 2 2 2 x − y +1 = C 。 （2）流速 () () 2 2 V z = f ' z = 3z = 3z ，又 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 f z = z = x x − 3y + i y 3x − y , 流线方程：( ) 1 2 2 3x − y y = C ， 等势线方程： ( ) 2 2 2 x x − 3y = C 。 （3）流速 () () ( )2 2 2 2 1 2 ' 1 2 ' 1 1 ' + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = z z z z z V z f z 又 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 i 2 1 i 2 1 1 1 x y x y x y xy z x y xy f z − + + − + − = − + + = + = ， 流线方程为 ( ) 1 2 2 2 2 2 1 4 C x y x y xy = − + + ， 等势线方程为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 C x y x y x y = − + + − +