§15.4圆形区 第9页 5154圆形区域 圆形区域中的稳定问题.定解问题为 a-u a- u2 0,x2+y2 在直角坐标系下,方程(二维 Laplace方程)当然可以分离变量.但边界条件显然不能.由于边界 的形状是圆形,很自然地应该采用平面极坐标系 在平面极坐标系中,原来的定解问题应该可以写为 1a(, ar(ar 2)+2=0.0<<m u==f(小) 思考题:这两个数学问题完全等价吗? 令u(r,)=R(r)(小),代入方程,有 1 d dR Rd重 dr(dr 更 (#)=-1 因此,可以分离变量 d -AR=O d2重 但是边界条件 仍然不能分离变量,因为边界条件是非齐次的.我们尽管能够将齐次方程分离变量,得到两个 含有待定参数的齐次常微分方程,但是并没有相应的齐次边界条件与之配合而构成一个本征值 问题.在平面极坐标系下应用分离变量法,又遇到了新的特殊的困难! 上面出现的困难,完全是由于演绎中的疏漏造成的:在圆形区域的条件下,由平面直角坐 标系变换到平面极坐标系时,结果 1 1 b(a)+严a2 0,0<T< l,=a=f(9) 并不完全等价于原来的定解问题;或者说,它并不构成一个完整的定解问题§15.4 圆形区域 第 9 页 §15.4 圆形区域 圆形区域中的稳定问题．定解问题为 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, x 2 + y 2 < a2 , u ¯ ¯ x2+y2=a2 = f. 在直角坐标系下，方程(二维Laplace方程)当然可以分离变量．但边界条件显然不能．由于边界 的形状是圆形，很自然地应该采用平面极坐标系． 在平面极坐标系中，原来的定解问题应该可以写为 1 r ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u ¯ ¯ r=a = f(φ). 思考题：这两个数学问题完全等价吗？ 令u(r, φ) = R(r)Φ(φ)，代入方程，有 1 r d dr µ r dR dr ¶ Φ + R r 2 d 2Φ dφ2 = 0, r R d dr µ r dR dr ¶ = − 1 Φ d 2Φ dφ2 = λ. 因此，可以分离变量， r d dr µ r dR dr ¶ − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0. 但是边界条件 R(a)Φ(φ) = f(φ) 仍然不能分离变量，因为边界条件是非齐次的．我们尽管能够将齐次方程分离变量，得到两个 含有待定参数的齐次常微分方程，但是并没有相应的齐次边界条件与之配合而构成一个本征值 问题．在平面极坐标系下应用分离变量法，又遇到了新的特殊的困难！ 上面出现的困难，完全是由于演绎中的疏漏造成的：在圆形区域的条件下，由平面直角坐 标系变换到平面极坐标系时，结果 1 r ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u ¯ ¯ r=a = f(φ). 并不完全等价于原来的定解问题；或者说，它并不构成一个完整的定解问题．