§15.4圆形区 第10页 ★第一,在数学上,原来定解问题的微分方程在圆内处处成立:然而变换到平面极坐标 后,方程在区间的端点d=0和=2π并不成立.严格说,在平面极坐标中,自变量d的 变化范围是0,2,因为u(r,)在端点φ=0和φ=2丌处的偏导数没有定义,充其量最多 也只能定义u(r,)在两个端点处的单侧偏导数 这两个端点纯粹是由于采用平面极坐标系描写圆形而出现的,并非真正的几何边界,在 原始的定解问题中,就谈不上要指定相应的边界条件.这样就导致在上面的结果中也没 有给出u(r,)在φ=0和=2m处所应当满足的边界条件 考虑到平面极坐标系的特点,(r,中=0)和(r,=2r)代表的是平面上的同一点,所以, 作为完整的定解问题,应当补充上周期条件 u(r,oou(r,o)loser fn du(r, o 这样,上面提到的由于把 Laplace方程从直角坐标系转换到极坐标系时而发生的损失,可 以通过周期条件而得到补偿 ★第二,原来的方程在坐标原点(x,y)=(0,0)也是成立的.但是,变换到平面极坐标后, 方程在r=0点并不成立.因为u(r,)在r=0点的偏导数也并没有定义,充其量也只能定 义u(r,)在r=0点的单侧偏导数 T=0点作为自变量r的端点,也纯粹是由采用极坐标系而出现的,它并不是圆形区域的 几何边界.这样也还需要补充上u(r,)在r=0点所应当满足的边界条件, 考虑到原来的方程是齐次的,在圆内(包括坐标原点)是无源的,因此,u(r,)在坐标原 点应当是有界的,应当要补充上有界条件 u(r,p)l=0有界 总结:在转换到平面极坐标系后,定解问题就应该变为 ar( ar <<2r,0<T u(r,)l=0=(m,)=2x 0<T<a, u(r,) u(r,) 0<T<a, u(r,o)l=0有界 0<<2r, u4,=a=f(9) 0 现在,再来重复分离变量的步骤,就可以看到,除了前面已经得到的两个齐次常微分方程 d dR AR=0, d更 A=0§15.4 圆形区域 第 10 页 F 第一，在数学上，原来定解问题的微分方程在圆内处处成立；然而变换到平面极坐标 后，方程在区间的端点φ = 0和φ = 2π并不成立．严格说，在平面极坐标中，自变量φ的 变化范围是[0, 2π]，因为u(r, φ)在端点φ = 0和φ = 2π处的偏导数没有定义，充其量最多 也只能定义u(r, φ)在两个端点处的单侧偏导数． 这两个端点纯粹是由于采用平面极坐标系描写圆形而出现的，并非真正的几何边界，在 原始的定解问题中，就谈不上要指定相应的边界条件．这样就导致在上面的结果中也没 有给出u(r, φ)在φ = 0和φ = 2π处所应当满足的边界条件． 考虑到平面极坐标系的特点，(r, φ = 0)和(r, φ = 2π)代表的是平面上的同一点，所以， 作为完整的定解问题，应当补充上周期条件 u(r, φ) ¯ ¯ φ=0 = u(r, φ) ¯ ¯ φ=2π 和 ∂u(r, φ) ∂φ ¯ ¯ ¯ φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ ¯ ¯ ¯ φ=2π . 这样，上面提到的由于把Laplace方程从直角坐标系转换到极坐标系时而发生的损失，可 以通过周期条件而得到补偿． F 第二，原来的方程在坐标原点(x, y) = (0, 0)也是成立的．但是，变换到平面极坐标后， 方程在r = 0点并不成立．因为u(r, φ)在r = 0点的偏导数也并没有定义，充其量也只能定 义u(r, φ)在r = 0点的单侧偏导数． r = 0点作为自变量r的端点，也纯粹是由采用极坐标系而出现的，它并不是圆形区域的 几何边界．这样也还需要补充上u(r, φ)在r = 0点所应当满足的边界条件． 考虑到原来的方程是齐次的，在圆内(包括坐标原点)是无源的，因此，u(r, φ)在坐标原 点应当是有界的，应当要补充上有界条件 u(r, φ) ¯ ¯ r=0有界. 总结：在转换到平面极坐标系后，定解问题就应该变为 1 r ∂ ∂r µ r ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < φ < 2π, 0 < r < a, u(r, φ) ¯ ¯ φ=0 = u(r, φ) ¯ ¯ φ=2π , 0 < r < a, ∂u(r, φ) ∂φ ¯ ¯ ¯ φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ ¯ ¯ ¯ φ=2π , 0 < r < a, u(r, φ) ¯ ¯ r=0 有界, 0 < φ < 2π, u ¯ ¯ r=a = f(φ), 0 < φ < 2π. 现在，再来重复分离变量的步骤，就可以看到，除了前面已经得到的两个齐次常微分方程 r d dr µ r dR dr ¶ − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0