《现代控制理论基础》第五章(讲义) 变系统的状态方程通常十分困难,所以这种方法显示出极大的优越性。 尽管采用 Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定性时,需要相当的经验和 技巧,然而当其他方法无效时,这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。 5.3.1 Lyapunov第一法 基本思路是:首先将非线性系统线性化,然后计算线性化方程的特征值,最 后则是判定原非线性系统的稳定性 5.3.2 Lyapunov第二法 由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量(正定函数)连续 减小(这意味着总能量对时间的导数必然是负定的),直到平衡状态时为止,则 振则系统是稳定的 Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的,即:如果系统有一个渐 近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着 时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统, 毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难, Lyapunov 引出了一个虚构的能量函数,称为 Lyapunov函数。当然,这个函数无疑比能量 更为一般,并且其应用也更广泛。实际上,任一纯量函数只要满足 Lyapunov稳 定性定理(见定理5.1和5.2)的假设条件,都可作为 Lyapunov函数(可能十 分困难)。 Lyapunov函数与x1,x2,…,x和t有关,我们用v(x12x2…,xn,1)或者V(x,1)来 表示 Lyapunov函数。如果在 Lyapunov函数中不含t,则用V(x1,x2…xn)或V 表示。在 Lyapunov第二法中,(x,1)和其对时间的导数(x,1)=d(x,)/d的符 号特征,提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则,而不 必直接求出方程的解(这种方法既适用于线性系统,也适用于非线性系统)。 1、关于渐近稳定性 可以证明:如果x为n维向量,且其纯量函数V(x)正定,则满足 (x)=C 的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上,且至少处于原点附近,式中C是正 常数。随着|→∞,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果C1<C2,则超 曲面(x)=C1完全处于超曲面(x)=C2的内部。 对于给定的系统,若可求得正定的纯量函数(x),并使其沿轨迹对时间的 导数总为负值,则随着时间的增加,卩(x)将取越来越小的C值。随着时间的进《现代控制理论基础》第五章(讲义) 7 变系统的状态方程通常十分困难，所以这种方法显示出极大的优越性。 尽管采用 Lyapunov 第二法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和 技巧，然而当其他方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。 5.3.1 Lyapunov 第一法 基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最 后则是判定原非线性系统的稳定性。 5.3.2 Lyapunov 第二法 由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续 减小（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则 振则系统是稳定的。 Lyapunov 第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐 近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着 时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统， 毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov 引出了一个虚构的能量函数，称为 Lyapunov 函数。当然，这个函数无疑比能量 更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足 Lyapunov 稳 定性定理（见定理 5.1 和 5.2）的假设条件，都可作为 Lyapunov 函数（可能十 分困难）。 Lyapunov 函数与 n x , x , , x 1 2  和 t 有关，我们用 ( , , , , ) 1 2 V x x x t  n 或者 V(x,t) 来 表示 Lyapunov 函数。如果在 Lyapunov 函数中不含 t,则用 ( , , , ) 1 2 n V x x  x 或 V (x) 表示。在 Lyapunov 第二法中， V(x,t) 和其对时间的导数 V(x,t) = dV(x,t)/ dt  的符 号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不 必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。 1、关于渐近稳定性 可以证明：如果 x 为 n 维向量，且其纯量函数 V (x) 正定，则满足 V (x) = C 的状态 x 处于 n 维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，式中 C 是正 常数。随着 x →  ，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果 C1  C2 ，则超 曲面 1 V(x) = C 完全处于超曲面 2 V(x) = C 的内部。 对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数 V (x) ，并使其沿轨迹对时间的 导数总为负值，则随着时间的增加， V (x) 将取越来越小的 C 值。随着时间的进