《现代控制理论基础》第五章(讲义) 步增长,最终(x)变为零,而x也趋于零。这意味着,状态空间的原点是渐 近稳定的。 Lyapunov主稳定性定理就是前述事实的普遍化,它给出了渐近稳定 的充要条件。该定理阐述如下: 定理5.1① Lyapunov,皮尔希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基)考虑如下非线性 系统 x(1)=f(x(1),t) 式中 f(0,1)=0,对所有t≥ 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数(x,1),且满足以下条件: 1、(x,1)正定; 2、V(x,)负定 则在原点处的平衡状态是(一致)渐近稳定的 进一步地,若x→∞,(x,1)→∞,则在原点处的平衡状态是大范围一致 渐近稳定的。 [例5.3]考虑如下非线性系统 元=x2-x1(x1+x2) 2=-x1-x2(x2+x2) 显然原点(x1=0,x2=0)是唯一的平衡状态。试确定其稳定性 如果定义一个正定纯量函数r(x) (x)=2x+2x2x2-2(x2+x2)2 是负定的,这说明I(x)沿任一轨迹连续地减小,因此V(x)是一个 Lyapunov函数 由于I(x)随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷,则按照定理5.1,该系统在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意,若使V(x)取一系列的常值0C1,C2,…(0<C1<C2<…),则V(x)=0 对应于状态平面的原点,而V(x)=C1,V(x)=C2,…,描述了包围状态平面原 点的互不相交的一簇圆,如图5.2所示。还应注意,由于V(x)在径向是无界的, 即随着|→∞,V(x)→∞,所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。 由于圆(x)=C4完全处在I(x)=Ck的内部,所以典型轨迹从外向里通过V圆的 边界。因此 Lyapunov函数的几何意义可阐述如下(x)表示状态x到状态空间原 点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态x(υ)之间的距离随t的增加而连续地 减小(即(x(1)<0),则x(1)→0。《现代控制理论基础》第五章(讲义) 8 一步增长，最终 V (x) 变为零，而 x 也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐 近稳定的。Lyapunov 主稳定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定 的充要条件。该定理阐述如下： 定理 5.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考虑如下非线性 系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t)  0 , 对所有 0 t  t 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t) ，且满足以下条件： 1、V(x,t) 正定； 2、V(x,t) 负定 则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。 进一步地，若 x → ，V(x,t) →  ，则在原点处的平衡状态是大范围一致 渐近稳定的。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.3] 考虑如下非线性系统 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x = − − + = − +   显然原点（ x1 = 0， x2 = 0 ）是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。 如果定义一个正定纯量函数 V (x) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 V(x) = 2x x  + 2x x  − 2(x + x ) 是负定的，这说明 V (x) 沿任一轨迹连续地减小，因此 V (x) 是一个 Lyapunov 函数。 由于 V (x) 随 x 偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理 5.1，该系统在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意，若使 V (x) 取一系列的常值 0, C1 , C2 ,  （ 0  C1  C2  ），则 V (x) =0 对应于状态平面的原点，而 1 V(x) = C ， 2 V(x) = C ，…，描述了包围状态平面原 点的互不相交的一簇圆，如图 5.2 所示。还应注意，由于 V (x) 在径向是无界的， 即随着 x →  ，V (x) →  ，所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。 由于圆 Ck V(x) = 完全处在 1 ( ) = Ck+ V x 的内部，所以典型轨迹从外向里通过 V 圆的 边界。因此 Lyapunov 函数的几何意义可阐述如下 V (x) 表示状态 x 到状态空间原 点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态 x(t)之间的距离随 t 的增加而连续地 减小（即 V(x(t))  0  ），则 x(t) → 0