《现代控制理论基础》第五章(讲义) V增大 图5.2常数V圆和典型轨迹 定理5.1是 Lyapunov第二法的基本定理,下面对这一重要定理作几点说明。 (1)这里仅给出了充分条件,也就是说,如果我们构造出了 Lyapunov函数 (x,D),那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的 Lyapunov函数,我 们并不能给出任何结论,例如我们不能据此说该系统是不稳定的 (2)对于渐近稳定的平衡状态,则 Lyapunov函数必存在 (3)对于非线性系统,通过构造某个具体的 Lyapunov函数,可以证明系统 在某个稳定域内是渐近稳定的,但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。 对于线性系统,如果存在渐近稳定的平衡状态,则它必定是大范围渐近稳定的。 (4)我们这里给出的稳定性定理,既适合于线性系统、非线性系统,也适合 于定常系统、时变系统,具有极其一般的普遍意义 显然,定理5.1仍有一些限制条件,比如(x,)必须是负定函数。如果在 (x,)上附加一个限制条件,即除了原点以外,沿任一轨迹r(x,)均不恒等于零, 则要求(x,)负定的条件可用(x,1)取负半定的条件来代替 定理5.2(克拉索夫斯基,巴巴辛)考虑如下非线性系统 x(t)=f(x(1),t 式中 f(0,)=0,对所有t≥10 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数I(x,1),且满足以下条件 1、V(x,)是正定的 2、I(x,1)是负半定的 3、(;x0,t0,对于任意t0和任意x0≠0,在t≥0时,不恒等于零,其中 的Φ(tx,0)表示在t时从x出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的 注意,若(x,1)不是负定的,而只是负半定的,则典型点的轨迹可能与某个 特定曲面v(x,)=C相切,然而由于(x0,10,对任意10和任意x0≠0,在《现代控制理论基础》第五章(讲义) 9 图 5.2 常数 V 圆和典型轨迹 ------------------------------------------------------------------ 定理 5.1 是 Lyapunov 第二法的基本定理，下面对这一重要定理作几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了 Lyapunov 函数 V(x,t) ，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的 Lyapunov 函数，我 们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。 (2) 对于渐近稳定的平衡状态，则 Lyapunov 函数必存在。 (3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的 Lyapunov 函数，可以证明系统 在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。 对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。 (4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合 于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。 显然，定理 5.1 仍有一些限制条件，比如  V(x,t) 必须是负定函数。如果在  V(x,t) 上附加一个限制条件，即除了原点以外，沿任一轨迹  V(x,t) 均不恒等于零， 则要求  V(x,t) 负定的条件可用  V(x,t) 取负半定的条件来代替。 定理 5.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t)  0 , 对所有 0 t  t 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t) ，且满足以下条件： 1、V(x,t) 是正定的； 2、V(x,t) 是负半定的； 3、 [ ( ; , ), ] 0 0 V  t x t t  对于任意 0 t 和任意 x0  0 ，在 0 t  t 时，不恒等于零，其中 的 ( ; , ) 0 0  t x t 表示在 0 t 时从 0 x 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的。 注意，若  V(x,t) 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个 特定曲面 V(x,t) =C 相切，然而由于 [ ( ; , ), ] 0 0 V  t x t t  对任意 0 t 和任意 x0  0 ，在