《现代控制理论基础》第五章(讲义) t≥0时不恒等于零,所以典型点就不可能保持在切点处(在这点上,r(x,1)=0), 因而必然要运动到原点。 2、关于稳定性 然而,如果存在一个正定的纯量函数(x,1),使得(x,)始终为零,则系统 可以保持在一个极限环上。在这种情况下,原点处的平衡状态称为在 Lyapunov 意义下是稳定的。 定理5.3( Lyapunov)考虑如下非线性系统 x(t)=f(x(1),t) 式中 f(0,1)=0,对所有t≥0 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数(x,1),且满足以下条件: 1、(x,1)是正定的 2、(x,1)是负半定的 3、V(x0,0)]对于任意t和任意x≠0,在t≥t0时,均恒等于零,其中 的Φ(t,x,1)表示在t时从x出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是 Lyapunov意义下的大范围渐近稳定的。 3、关于不稳定性 如果系统平衡状态x=0是不稳定的,则存在纯量函数W(x,1),可用其确定 平衡状态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。 定理5.4( Lyapunov)考虑如下非线性系统 x(1)=f(x(1),1) 式中 f(0,1)=0,对所有t≥10 若存在一个纯量函数W(x,D),具有连续的一阶偏导数,且满足下列条件: 1、W(x,1)在原点附近的某一邻域内是正定的 2、W(x,1)在同样的邻域内是正定的。 则原点处的平衡状态是不稳定的 5.3.3线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较 在线性定常系统中,若平衡状态是局部渐近稳定的,则它是大范围渐近稳定 的,然而在非线性系统中,不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定 的。因此,线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全 不同。《现代控制理论基础》第五章(讲义) 10 0 t  t 时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处（在这点上，  V(x,t) =0）， 因而必然要运动到原点。 2、关于稳定性 然而，如果存在一个正定的纯量函数 V(x,t) ，使得  V(x,t) 始终为零，则系统 可以保持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为在 Lyapunov 意义下是稳定的。 定理 5.3 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t)  0 , 对所有 0 t  t 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t) ，且满足以下条件： 1、V(x,t) 是正定的； 2、V(x,t) 是负半定的； 3、 [ ( ; , ), ] 0 0 V  t x t t  对于任意 0 t 和任意 x0  0 ，在 0 t  t 时，均恒等于零，其中 的 ( ; , ) 0 0  t x t 表示在 0 t 时从 0 x 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是 Lyapunov 意义下的大范围渐近稳定的。 3、关于不稳定性 如果系统平衡状态 x =0 是不稳定的，则存在纯量函数 W (x,t) ，可用其确定 平衡状态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。 定理 5.4 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t)  0 , 对所有 0 t  t 若存在一个纯量函数 W (x,t) ，具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 1、W (x,t) 在原点附近的某一邻域内是正定的； 2、  W(x,t) 在同样的邻域内是正定的。 则原点处的平衡状态是不稳定的。 5.3.3 线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较 在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定 的，然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定 的。因此，线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全 不同