《现代控制理论基础》第五章(讲义) 如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性,则非线性系统的线性化模型 稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于 Lyapunov 第二法的方法可达到这一日的,包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的 克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统 Lyapunov函数的 Schultz- Gibson变量 梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure)法,以及用于构 成吸引域的波波夫方法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。 5.3.4克拉索夫斯基方法 克拉索夫斯基方法给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的充分条件 在非线性系统中,可能存在多个平衡状态。可通过适当的坐标变换,将所要 研究的平衡状态变换到状态空间的原点。所以,可把要研究的平衡状取为原点。 现介绍克拉索夫斯基定理 定理5.5(克拉索夫斯基定理)考虑如下非线性系统 x=f(x) 式中,x为n维状态向量,f(x)为x12x2…x的非线性n维向量函数,假定 f(0)=0,且f(x)对x可微(i=1,2,…n) 该系统的雅可比矩阵定义为 f(x)=/ af2 af2 ax, x 又定义 F(x)=F"(x)+F(x) 式中,F(x)是雅可比矩阵,F(x)是F(x)的共轭转置矩阵(如果f(x)为实向量, 则F(x)是实矩阵,且可将F(x)写为F(x),此时F(x)显然为 Hermite矩阵 (如果F(x)为实矩阵,则F(x)为实对称矩阵)。如果 Hermite矩阵F(x)是负定 的,则平衡状态x=0是渐近稳定的。该系统的 Lyapunov函数为 (x)=f"(x)f(x) 此外,若随着|x→∞,f"(x)f(x)→∞,则平衡状态是大范围渐近稳定的。 证明:由于F(x)是负定的,所以除x=0外,F(x)的行列式处处不为零。因而, 在整个状态空间中,除x=0这一点外,没有其他平衡状态,即在x≠0时 11《现代控制理论基础》第五章(讲义) 11 如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则非线性系统的线性化模型 稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于 Lyapunov 第二法的方法可达到这一目的，包括用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的 克拉索夫斯基方法、用于构成非线性系统 Lyapunov 函数的 Schultz-Gibson 变量 梯度法、用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure’)法，以及用于构 成吸引域的波波夫方法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。 5.3.4 克拉索夫斯基方法 克拉索夫斯基方法给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的充分条件。 在非线性系统中，可能存在多个平衡状态。可通过适当的坐标变换，将所要 研究的平衡状态变换到状态空间的原点。所以，可把要研究的平衡状取为原点。 现介绍克拉索夫斯基定理。 定理 5.5（克拉索夫斯基定理）考虑如下非线性系统 x  = f (x) 式中，x 为 n 维状态向量， f (x) 为 n x , x , , x 1 2  的非线性 n 维向量函数，假定 f (0) = 0 ，且 f (x) 对 i x 可微（i=1,2,…,n）。 该系统的雅可比矩阵定义为                      =      = n n n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f F x                             1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( ) 又定义 ( ) ( ) ( ) ˆ F x F x F x H = + 式中， F(x) 是雅可比矩阵， F (x) H 是 F(x) 的共轭转置矩阵（如果 f (x) 为实向量， 则 F(x) 是实矩阵，且可将 F (x) H 写为 F (x) T ），此时 ( ) ˆ F x 显然为 Hermite 矩阵 （如果 F(x) 为实矩阵，则  F(x) 为实对称矩阵）。如果 Hermite 矩阵  F(x) 是负定 的，则平衡状态 x =0 是渐近稳定的。该系统的 Lyapunov 函数为 V(x) f (x) f (x) H = 此外，若随着 x → ，f (x) f (x) →  H ，则平衡状态是大范围渐近稳定的。 证明: 由于  F(x) 是负定的，所以除 x = 0 外，  F(x) 的行列式处处不为零。因而， 在整个状态空间中，除 x = 0 这一点外，没有其他平衡状态，即在 x  0 时