正则的点邻域解的第 容易判断右端第二项在|x-1<2内解析,因此可以将第二解设为 y2(z)=gPi()In=t+2dn(z-1)" 取g=1,并定出dn,最后就可以求出 Legendre方程的第二解 QI(a)=P(a) 2-2(+1 1r(+n+1) 1 (n)2r(l-n+1) 称势务 类 Legendre函数,其中y是 Euler数,ψ(2)是r函数的对数微商.由于函数Pl(x)(和 后,系是以x=-1数r=∞为.解的是值函数)数Ql(x)的是值性由有约定性的规 定,别,析性要特别注意 下"总结一下求常微分方程 +p(2) dz +q(2)u= 在正则奇解邻域内的解的一般步骤,同析回答:在什么情况下,方程的第二解不含对数项;在什 么情况下,方程的第二解可能含对数项;在什么情况下,方程的第二解一定含对数项 结论 若规定方程在正则奇解处的两个指标Re1≥ReP2,则 ≠整数析 第二解一定不含对数项 当p1=P2析 第二解一定含对数项 正整数析,第二解可能含对数项. 为了简单起在,不点假设z=0解是系的正则奇解.于是,在z=0解的邻域内,可将方程的 数中 Laurent展开 设解为 代方程,就有 ∑ck(k+p(k+P-1)2 k=0§6.3 ✡☛➥➦☞✌✍✎ ✏✑✒ ✓ 12 ✔ ✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣ |x − 1| < 2 ✤✥✦✧★✩✪✫✬✛✜✥✭✮ y2(x) = g 2 Pl(x) ln x + 1 x − 1 + X∞ n=0 dn(x − 1)n . ✯ g = 1 ✧✰✱✲ dn ✧✳✴✵✪✫✶✲ Legendre ✷✸✹✛✜✥ Ql(x) = 1 2 Pl(x)  ln x + 1 x − 1 − 2γ − 2ψ(l + 1) + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  1 + 1 2 + · · · + 1 n  x − 1 2 n , ✺ ✮ l ✻ ✛✜✼ Legendre ✽✾✧✿ ❀ γ ❁ Euler ✾✧ ψ(z) ❁ Γ ✽✾✹❂✾❃❄❅❆❇✽✾ Pl(x)(❈ ❉❊❋●❍✴✧■❁✫ x = −1 ❏ x = ∞ ✮❑▲✹▼◆✽✾) ❏ Ql(x) ✹▼◆❖ P◗❘✱❖✹❙ ✱✧❚❯❱❲❳❨❩❬❭❅ ❪❍❫❴❵❪ ✶❛❃❜✷✸ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0 ✣❝❞❡▲❢❣ ✤✹✥✹❵❤✐❥✧❦❱ ❧♠♥✣♦♣qr❪ ✧✷✸✹✛✜✥st❂✾✢✉✣♦ ♣qr❪ ✧✷✸✹✛✜✥✪✈t❂✾✢✉✣♦♣qr❪ ✧✷✸✹✛✜✥ ❵ ✱t❂✾✢ ❅ ✇ ① ② ❙✱✷✸✣❝❞❡▲③✹④⑤⑥⑦ Re ρ1 ≥ Re ρ2 ✧ ❞ ⑧ ρ1 − ρ2 6= ⑨✾❱✧ ✛✜✥ ❵ ✱st❂✾✢✉ ⑧ ρ1 = ρ2❱✧ ✛✜✥ ❵ ✱t❂✾✢✉ ⑧ ρ1 − ρ2 = ❝ ⑨✾❱✧ ✛✜✥✪✈t❂✾✢ ❅ ✮⑩❶❷❸❹✧s❺❻✭ z = 0 ▲❁■✹❝❞❡▲❅❇ ❁✧✣ z = 0 ▲✹❢❣ ✤✧✪✬✷✸✹ ❼ ✾❽ Laurent ❾❿ p(z) = X∞ l=0 alz l−1 , q(z) = X∞ l=0 blz l−2 . ✭✥✮ w(z) = z ρX∞ k=0 ckz k . ➀➁✷✸✧✵◗ X∞ k=0 ck(k + ρ)(k + ρ − 1)z k+ρ−2 + X∞ l=0 alz l−1X∞ k=0 ck(k + ρ)z k+ρ−1 + X∞ l=0 blz l−2X∞ k=0 ckz k+ρ = 0