六章二阶线性常微分方程的幂级数解 第11页 和递推关系 n(n-1)-l(1+1) 指标方程的解是 这说明 Legendre方程在r=1点、邻域内的第一解实际上是在圆域|r-1|<2内解析的 当然在x=1点有界;而第二解则一定含有对数项,以x=1(和x=-1)为枝点,因而 在x=1(和x=-1)点发散,故只需求第一解 由递推关系,可以求出 Legendre方程在x=1点邻域内第一解的系数的通项公式 (+n)(l+1-n) (+n)(l+1-n)(l+n-1)(l+2-m) 2(mn-1)2 +m)(+1-n)(+n-1)(+2-m)(l+ 2 1r(+n+1)/1 取co=1,就求出了 Legendre方程的第一解 P(x)=∑ 1r(+n+1) z6m!)2r(=n+1(2 称为l次第一类 Legendre函数 如果要继续求第二解,则应设 y2()=gPl()In(a-1)+>dn(a-1) z(m!)2r(-n+1 ln(x-1)+∑dn(x-1y n=0 按照常微分方程级数解法的标准步骤,定出系数g(一定不为0)和dn即可 更实用的办法是根据第二解与第一解之间的关系,写出 (x) P gP(e) P()21-5 gP(a) de +gPl(r) IpOE-1Ni=e￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ ✒ 11 ✓ ❈✠✡☛■ cn = − n(n − 1) − l(l + 1) 2n2 cn−1. ✳ä❋●❍▲▼ ρ1 = ρ2 = 0. ❹ ⑥ ö Legendre ❵❛✉ x = 1 ❧♠♥ ♦❡ ÷✐❬ øù ♠❣ ✉ ú ♥ |x−1| < 2 ♦❬✈❡ ❯ ➣t✉ x = 1 ❧❾û✓➜ ÷➷❬➯✐❦➙ ❾➛❩➃ ❯➼ x = 1(➄ x = −1) ❸ü❧ ❯❷➜ ✉ x = 1(➄ x = −1) ❧ýþ❑ÿ ￾➝⑥ ÷✐❬❑ P✠✡☛■❯Ù➏ïð Legendre ❋●❹ x = 1 ❺ÛÜ ➱ð➁▲❍■❏❍✙➏✁é cn = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 cn−1 = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 (l + n − 1)(l + 2 − n) 2(n − 1)2 cn−2 = · · · · · · = (l + n)(l + 1 − n) 2n2 (l + n − 1)(l + 2 − n) 2(n − 1)2 · · · (l + 1)l 2 · 1 2 c0 = 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  1 2 n c0. ✒ c0 = 1 ❯îïð➑ Legendre ❋●❍ð➁▲ Pl(x) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  x − 1 2 n , ❉❊ l ✪ð➁✂ Legendre ☞❏❑ ❷❸➣✄☎ïðÒ▲❯❻✵ ❖ y2(x) = gPl(x) ln(x − 1) + X∞ n=0 dn(x − 1)n = g X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  x − 1 2 n ln(x − 1) + X∞ n=0 dn(x − 1)n . ✆✝❼❒❮❋●ß❏▲❋❍ä✞✻✼❯❘ð■❏ g(➁❘➃❊ 0) ❈ dn ➩Ù❑ ✟ ✸ó❍✠❋▼ ×ØðÒ▲ãð➁▲￾✁❍☛■❯✍ð y2(x) = gPl(x) Z x ( 1 [Pl(ξ)]2 exp "Z ξ 2ζ 1 − ζ 2 dζ #) dξ = gPl(x) Z x 1 [Pl(ξ)]2 dξ 1 − ξ 2 = gPl(x) Z x dξ 1 − ξ 2 + gPl(x) Z x  1 [Pl(ξ)]2 − 1  dξ 1 − ξ 2