03方程正则奇点邻域内的解 第10页 积分,可得 n-m出=Ac-/m减 两端除以m,又可以得到 d dz(wi mzexp (6.8) 再积分一次,就得到上面的结果 例6.4显然,z=0和z=1都是超几何方程 2(1-2)a2x+b7-(1+a+B)2la2-m=0 的正则奇点;x=±1也都是 Legendre方程 dr2 +l(+1)y=0 的正则奇点 为了判断无穷远点是否为正则奇点,同样要作变换z=1/t,如果t=0是变换后的方程的正 则奇点,即t=0点是变换后的方程的奇点,且 t2 在t=0点解析,亦即z=∞点是变换前方程的奇点,且zp(2)和2q(2)在z=∞点解析,则称 z=∞点是变换前的方程的正则奇点.所以,无穷远点z=∞也都是超几何方程和 Legendre方程 的正则奇点 例6.5求 Legendre方程 (1-x2)2-2+1(+1)y=0 在x=1邻域内的有界解 解因x=1是 Legendre方程的正则奇点,故应设 n=0 代入方程,就有 ∑an[(n+)(n+p+1)-1(+1)la 2)cn(m+p)(x-1)"=0 由此可以得到指标方程 p(p-1) 0§6.3 ✡☛➥➦➨➦üý þ☞✏ ✒ 10 ✓ ï❮❯Ùú w1 dw2 dz − w2 dw1 dz = A exp  − Z z p(ζ)dζ  . ➌❐➐➏ w 2 1 ❯óÙ➏úû d dz  w2 w1  = A w2 1 exp  − Z z p(ζ)dζ  . (6.8) ❞ï❮➁✪❯îúû✚➘❍Ú❸❑ ➅ 6.4 àá❯ z = 0 ❈ z = 1 →▼➆➇➈❋● z(1 − z) d 2w dz 2 + [γ − (1 + α + β)z] dw dz − αβw = 0 ❍ä❻➄❺✓ x = ±1 ❏→▼ Legendre ❋● ￾ 1 − x 2
d 2 y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ❍ä❻➄❺❑ ❊➑↔↕➙➛➊❺▼Ô❊ä❻➄❺❯❄ÿ ➣ ➞ ➠➢ z = 1/t ❯❷❸ t = 0 ▼ ➠➢❁❍❋●❍ä ❻➄❺❯➩ t = 0 ❺▼ ➠➢❁❍❋●❍➄❺❯Õ t  2 t − 1 t 2 p  1 t  = 2 − 1 t p  1 t  ❈ t 2 · 1 t 4 q  1 t  = 1 t 2 q  1 t  ❹ t = 0 ❺▲❱❯❨ ➩ z = ∞ ❺▼ ➠➢ô ❋●❍➄❺❯Õ zp(z) ❈ z 2 q(z) ❹ z = ∞ ❺▲❱❯❻❉ z = ∞ ❺▼ ➠➢ô ❍❋●❍ä❻➄❺❑➎➏❯➙➛➊❺ z = ∞ ❏→▼➆➇➈❋●❈ Legendre ❋● ❍ä❻➄❺❑ ➅ 6.5 ï Legendre ❋● ￾ 1 − x 2
d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ❹ x = 1 ÛÜ ➱❍➀õ▲❑ ➸ ➤ x = 1 ▼ Legendre ❋●❍ä❻➄❺❯ ❚✵ ❖ y(x) = (x − 1)ρ X∞ n=0 cn(x − 1)n . êë❋●❯î➀ X∞ n=0 cn (n + ρ)(n + ρ + 1) − l(l + 1) (x − 1)n+1 + 2X∞ n=0 cn(n + ρ) 2 (x − 1)n = 0. P ➥ Ù➏úû✳ä❋● ρ(ρ − 1) + ρ = 0