线性常微分方程的幂级数解 第9页 在它的奇点z0的邻域0<|z-20<R有两个正则解 u1(2)=(z-20) Ck2一 (6.5) (6.6) (2-20)∑d(2-20),9或如≠0 (6.7) 的充要条件是20为方程的正则奇点 p1和P2称为正则解的指标 在方程正则奇点邻域内求解思路: 将正则解1(2)或u2(z)代入方程 ·通过比较系数,求出指标和递推关系 进而求出系数的普遍表达式 实际的求解过程,总是先将m1(2)形式的解代入方程 如果能够同时求得两个线性无关解,当然任务便告完成,没有必要再将2(2)形式的 解代入方程 ★如果这时只能求得一个解(例如p1=P时),那么,就还必须再将u2(x)形式的解(这 时的g一定不为0)代入方程求解 根据常微分方程的普遍理论,对于一个二阶线性常微分方程 a2+m) a2+g(2)=0 如果已经求出了一个解1(2),那么,总可以通过积分 u2(2)=A1(2) /{ae[/m} 来求出第二解.这是因为这两个解都满足方程 d2+m(2)= a2+9(2)n=0 d- dw? a2+p(2)a2+(2)m2=0 用m2(2)和w1(z)分别乘这两个方程,再相减,便可得到 +m(2)(m2 duz_a du+p( (x)￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ ✒ 9 ✓ ❹❮❍➄❺ z0 ❍ÛÜ 0 < |z − z0| < R ➀➌➂ä❻▲ w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=0 ck(z − z0) k , c0 6= 0, (6.5) w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) (6.6) + (z − z0) ρ2 X∞ k=0 dk(z − z0) k , g ❊ d0 6= 0 (6.7) ❍Þ ➣ ➫➭▼ z0 ❊❋●❍ä❻➄❺❑ ρ1 ❈ ρ2 ❉❊ä❻▲❍ ß❄ ❑ à❁❂❬❭✣➯➲➳➵á➸âã➍ • ç ä❻▲ w1(z) ❊ w2(z) êë❋● • ✙✬ ìí■❏❯ïð✳ä❈✠✡☛■ • å✰ïð■❏❍✽✾ô✿é ✸æ❍ï▲✬●❯➐▼ ➻ç w1(z) èé❍▲êë❋●❯ F ❷❸❵ç❄❅ïú➌➂✔❲ ➙ ☛▲❯✴ á Ñèéê◆✎❯➓➀➜➣ ❞ ç w2(z) èé❍ ▲êë❋●❑ F ❷❸Ö❅✧❵ïú➁➂▲ (✹❷ ρ1 = ρ2 ❅) ❯ ëì❯î ❜ ➜➝❞ ç w2(z) èé❍▲ (Ö ❅❍ g ➁❘➃❊ 0) êë❋●ï▲❑ ×Ø❼❒❮❋●❍✽✾➴❫❯✲✮➁➂ÒÑ✔❲❼❒❮❋● d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, ❷❸ íîïð➑➁➂▲ w1(z) ❯ ëì❯➐Ù➏✙✬ï❮ w2(z) = Aw1(z) Z z  1 [w1(z)]2 exp  − Z z p(ζ)dζ  dz ✭ïððÒ▲❑Ö▼➤ ❊Ö➌➂▲→❱❲❋● d 2w1 dz 2 + p(z) dw1 dz + q(z)w1 = 0, d 2w2 dz 2 + p(z) dw2 dz + q(z)w2 = 0. ó w2(z) ❈ w1(z) ❮❚ñÖ➌➂❋●❯❞❇ò❯éÙúû w1 d 2w2 dz 2 − w2 d 2w1 dz 2 + p(z)  w1 dw2 dz − w2 dw1 dz  = 0, ➩ d dz  w1 dw2 dz − w2 dw1 dz  + p(z)  w1 dw2 dz − w2 dw1 dz  = 0