§6.3方程正则奇点邻域内的解 同时把p(2)和q(2)也在0<|2-2<R内作 Laurent展开 p(2)=(2-20)m∑a(2-20), q(2)=(2-20)-n∑b(2-20) 由于z=20点是方程的极点性奇点,故m,n必为整数,且至少有一个为负整数.将u(2)以及p(2) 和q(2)的级数表达式代入方程,并消去因子(z-20)9-2,就得到 >cK(k+p)(k:+p-1)(z-z0 k=0 (2-20)2-m∑an(2-20)∑ck(k+p(-ao +(2-20)2-∑b(2-20)∑c(2-20)=0 从原则上说,比较上式两端各次幂的糸数,如果能求出ρ值以及亲数∝k的普遍表 式,我们就求出了正则解v(z).特别是,为了要求得两个正则解,前提当然是必须求 两个ρ值,即ρ必须是二次方程的解. 我们考察一下上面得到的等式.在等式左端共有三项,它们的最低次幂项分别为 因此,为了要能求得两个p值,这个等式左端的最低次幂一定是0次幂,即 1 换句话说,20应该是 p(2)的不超过一阶的极点,即(2-20)(2)在20点解析 q(2)的不超过二阶的极点,即(2-20)2q(z)在20点解析 这种奇点称为方程的正则奇点,否则,称为非正则奇点 这样看来,在方程的正则奇点的邻域内,两个解可能都是正则解.尽管上面的分析还 不完全(未讨论含对数项的正则解的情形),但是,这个结论却是正确的.见下面的定理 定理6.3方程 d 2w§6.3 ✡☛➥➦➨➦üý þ☞✏ ✒ 8 ✓ ❄❅Ú p(z) ❈ q(z) ❏❹ 0 < |z − z0| < R ➱➞ Laurent ÝÞ p(z) = (z − z0) −mX∞ k=0 ak(z − z0) k , q(z) = (z − z0) −nX∞ k=0 bk(z − z0) k . P✮ z = z0 ❺▼❋●❍❴❺❲➄❺❯ ❚ m, n ➜❊ø ❏❯Õ❾❿➀➁➂❊➎ ø ❏❑ç w(z) ➏➧ p(z) ❈ q(z) ❍ß❏ô✿éêë❋●❯Ô➨➩➤ ❯ (z − z0) ρ−2 ❯îúû X∞ k=0 ck(k + ρ)(k + ρ − 1)(z − z0) k + (z − z0) 1−mX∞ l=0 al(z − z0) lX∞ k=0 ck(k + ρ)(z − z0) k + (z − z0) 2−nX∞ l=0 bl(z − z0) lX∞ k=0 ck(z − z0) k = 0. ➫➭➯♠ ⑥ ❯➲➳♠⑧ ➟➵➸➺➂❡ t❩❯⑩✐✉⑥ ⑦ ρ ➻ ➼➽ t❩ ck ❡⑧⑨⑩❶ ⑧ ❯❥❦①⑥ ⑦ ③➁➯❬ w(z) ❑ ➾➞❣ ❯❸ ③➚⑥❝ ➟ ➀➁➯❬ ❯ ➪➶ ➣t❣➹➘⑥ ⑦ ➟ ➀ ρ ➻❯➴ ρ ➹➘❣➷ ➺❵❛❡❬ ❑ ❍■➬➮➁➹✚➘úû❍➱é❑❹➱é✃❐❒➀❆➏❯❮■❍❀❰✪✫➏❮❚❊ c0ρ(ρ − 1)(z − z0) 0 , c0a0ρ(z − z0) 1−m, c0b0(z − z0) 2−n . ➤➥❯❊➑➣ ❵ïú➌➂ ρ ❐❯Ö➂➱é✃❐❍❀❰✪✫➁❘▼ 0 ✪✫❯➩ 1 − m ≥ 0, 2 − n ≥ 0. ➢ÏÐñ❯ z0 ✵✶▼ p(z)❍➃➆✬➁Ñ❍❴❺❯ ➩ (z − z0)p(z)❹ z0 ❺▲❱✓ q(z)❍➃➆✬ÒÑ❍❴❺❯ ➩ (z − z0) 2 q(z)❹ z0 ❺▲❱❑ ÖÓ➄❺❉❊❋●❍ ❬❭✣➯ ❯Ô❻❯❉❊ Õ❬❭✣➯ ❑ Öÿ✛✭❯❹❋●❍ä❻➄❺❍ÛÜ ➱❯➌➂▲Ù❵→▼ä❻▲❑Ö×✚➘❍❮❱❜ ➃◆❖ (Ø❪❫★✲❏➏❍ä❻▲❍Ùè) ❯❛▼❯Ö➂Ú❫Û▼äÜ❍❑Ý ➹➘❍❘➴ (➃➽) ❑ ➷➬ 6.3 ❋● d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0