喜六章二阶线性常微分方程的级数解法 第7页 §6.3方程正则奇点邻域内的解 只讨论极点性的奇点 方程的奇点可能同时也是解的奇点.不但可能是解的极点或本性奇点,还可能是解的枝点 作为在方程正则奇点邻域内求解的依据,再次不加证明地介绍另一个定理 定理6.2如果2是方程 +p(2)+q(2)u=0 的奇点,则在p(z)和q(2)都解析的环形区域0<|2-20<R内,方程的两个线性无关解是 n(2)=(2-20)∑ 2(2)=gn(2)ln(2-0)+(2-20)∑d(2-20) k=-∞o 其中p1,P2和g都是常数 如果p或p2是整数,且g=0,则20点为方程的解的极点或本性奇点 ★如果p1或P不是整数,或g≠0,则方程的解为多值函数,20点为其枝点 现在如果我们把上面的解弌代入方程,尽管仍然能得到糸数之间的递推关糸,但却无 法求出糸数的普遍表达式.因为这时的级数解中,一般说来,都有无穷多个正幂项和负 幂项,反复利用递推关糸将会永无休止 如果级数解中只有有限个负幂项,这时总可以调整相应的ρ值,使得级数解中没有负幂项, (2)=(2-20)∑a(-20) 2(2)=gn(2)hn(2-20)+(2-20)∑(2-20) 于是,反复利用递推关系就可以求得系数的普遍表达式,当然,还必须要定出p值 这种形式的解称为正则解,当g≠0时,υ2()的形式和υ1(∞)不同(含有对数项), 因而需分别求解,当g=0时,2(z)的表达式中不含对数项,两个解的形式相同 为了找出方程奇点邻域内存在正则解的条件,不妨先取 u(2)=(2-20)￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ ✒ 7 ✓ §6.3 ❁❂❬❭✣➯➲➳➵❃➸ ✧❪❫❴❺❲❍➄❺❑ ❋●❍➄❺Ù❵❄❅❏▼▲❍➄❺❑➃❛Ù❵▼▲❍❴❺❊ ✱ ❲➄❺❯ ❜ Ù❵▼▲❍❝❺❑ ➞❊❹❋●ä❻➄❺ÛÜ ➱ï▲❍❈ Ø ❯❞✪➃➼➽ ➾➚➪➶❡➁➂❘➴➍ ➷➬ 6.2 ❷❸ z0 ▼❋● d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0 ❍➄❺❯❻❹ p(z) ❈ q(z) →▲❱❍❢è●Ü 0 < |z − z0| < R ➱❯❋●❍➌➂✔❲ ➙ ☛▲▼ w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=−∞ ck(z − z0) k , w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) + (z − z0) ρ2 X∞ k=−∞ dk(z − z0) k , ➓ ❽ ρ1, ρ2 ❈ g →▼❼❏❑ F ❷❸ ρ1 ❊ ρ2 ▼ ø ❏❯Õ g = 0 ❯❻ z0 ❺❊❋●❍▲❍❴❺❊ ✱ ❲➄❺❑ F ❷❸ ρ1 ❊ ρ2 ➃▼ ø ❏❯❊ g 6= 0 ❯❻❋●❍▲❊❣❐☞❏❯ z0 ❺❊➓❝❺❑ ❤ ✉⑩✐❥❦❧♠ ♥ ❡❬⑧♦♣❵❛❯q rst✉❝❞ t❩✈ ✇❡①② ③t ❯④⑤r ❭⑥ ⑦t❩❡⑧⑨⑩❶⑧ ❑❷❸❹❜❡❨❩❬ ❺ ❯✐❻⑥❼ ❯ ❽❾rs ❿➀➁➂➃➄ ➅ ➂➃❯➆➇➈❳①② ③t➉➊➋r➌➍❑ ❷❸ß❏▲ ❽✧➀➀➉➂➎✫➏❯Ö❅➐Ù➏➑ ø ❇ ✵ ❍ ρ ❐❯➒úß❏▲ ❽➓➀➎✫➏❯ w1(z) = (z − z0) ρ1 X∞ k=0 ck(z − z0) k , w2(z) = gw1(z) ln(z − z0) + (z − z0) ρ2 X∞ k=0 dk(z − z0) k . ✮▼❯✝✞✟ó✠✡☛■îÙ➏ïú■❏❍✽✾ô✿é❑✴ á ❯ ❜ ➜➝➣ ❘ð ρ ❐❑ ❹➔⑦⑧❡❬→ ❸ ❬❭➸ ❑➣ g 6= 0 ❜ ❯ w2(z) ❡⑦⑧➄ w1(z) ↔ ↕ (➙ ❾➛❩➃ ) ❯ ❷➜➝❴➞⑥❬ ❑➣ g = 0 ❜ ❯ w2(z) ❡⑩❶⑧ ❺ ↔➙➛❩➃ ❯➟ ➀❬❡⑦⑧➠ ↕❑ ❊➑➡ð❋●➄❺ÛÜ ➱➢❹ä❻▲❍➫➭❯➃➤ ➻ ✒ w(z) = (z − z0) ρX∞ k=0 ck(z − z0) k