《数学分析(1,2,3)》教案 第十三章多元函数的极限和连续性 §1、平面点集 邻域、点列的极限 定义1在平面上固定一点M6(x2y),凡是与M的距离小于E的那些点M组成的平面点集,叫做M6的 E邻域,记为O(Mo,6) 定义2设Mn=(x,yn),M=(x,%)。如果对M0的任何一个E邻域O(M0E),总存在正整数N,当 n>N时,有M∈O(M05)。就称点列{M}收敛,并且收敛于M0,记为 lim m=M或 (xn,y)→>(xny)(n→>∞) 性质:(1)(x,y)→(xy)分x→x,yn→ (2)若{M}收敛,则它只有一个极限,即极限是唯一的。 二开集、闭集、区域 设E是一个平面点集 1.内点:设M0∈E,如果存在M的一个δ邻域O(M0,),使得O(M,δ)cE,就称M0是E的内点 2.外点:设MEE,如果存在M1的一个n邻域O(M,m),使得O(M,)⌒E=Φ,就称M是E的 外点 3.边界点:设M是平面上的一点,它可以属于E,也可以不属于E,如果对M的任何E邻域O(M,5) 其中既有E的点,又有非E中的点,就称M,是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界 4.开集:如果E的点都是E的内点,就称E是开集 5.聚点:设M是平面上的一点,它可以属于E,也可以不属于E,如果对M的任何E邻域O(M,E), 至少含有E中一个(不等于M,的)点,就称M,是E的聚点 性质:设M是E的聚点,则在E中存在一个点列{Mn}以M为极限 6.闭集:设E的所有聚点都在E内,就称E是闭集。 7.区域:设E是一个开集,并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起 来,而这条折线全部含在E中,就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域 平面点集的几个基本定理 1.矩形套定理:设{an≤x≤b,cn≤y≤dn}是矩形序列,其中每一个矩形都含在前一个矩形中,并且 13-1《数学分析（1，2，3）》教案 13-1 第十三章 多元函数的极限和连续性 §1、平面点集 一 邻域、点列的极限 定义 1 在平面上固定一点 M x y 0 0 0 ( , ) ，凡是与 M0 的距离小于  的那些点 M 组成的平面点集，叫做 M0 的  邻域，记为 O M( 0 , )。 定义 2 设 M x y n n n = ( , ) ，M x y 0 0 0 = ( , ) 。如果对 M0 的任何一个  邻域 O M( 0 , ) ，总存在正整数 N ，当 n N 时，有 M O M n  ( 0 , ) 。就称点列 M n 收 敛 ， 并 且 收 敛 于 M0 ，记为 0 lim n n M M → = 或 ( x y x y n n n , , ) → →  ( 0 0 )( ) 。 性质：（1） ( x y x y x x y y n n n n , , , ) →  → → ( 0 0 0 0 ) 。 （2）若 M n 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。 二 开集、闭集、区域 设 E 是一个平面点集。 1． 内点：设 M E 0  ，如果存在 M0 的一个  邻域 O M( 0 ,  ) ，使得 O M E ( 0 ,  )  ，就称 M0 是 E 的内点。 2． 外点：设 M E 1  ，如果存在 M1 的一个  邻域 O M( 1 ,) ，使得 O M E ( 1 ,) =  ，就称 M1 是 E 的 外点。 3． 边界点：设 M* 是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属于 E ，如果对 M* 的任何  邻域 O M( * , ) ， 其中既有 E 的点，又有非 E 中的点，就称 M* 是 E 的边界点。 E 的边界点全体叫做 E 的边界。 4． 开集：如果 E 的点都是 E 的内点，就称 E 是开集。 5． 聚点：设 M* 是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属于 E ，如果对 M* 的任何  邻域 O M( * , ) ， 至少含有 E 中一个（不等于 M* 的）点，就称 M* 是 E 的聚点。 性质：设 M0 是 E 的聚点，则在 E 中存在一个点列 M n 以 M0 为极限。 6． 闭集：设 E 的所有聚点都在 E 内，就称 E 是闭集。 7． 区域：设 E 是一个开集，并且 E 中任何两点 M1 和 M2 之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起 来，而这条折线全部含在 E 中，就称 E 是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。 三 平面点集的几个基本定理 1．矩形套定理：设 a x b c y d n n n n     ,  是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且