《数学分析(1,2,3)》教案 bn-an→>0,dn-cn→>0,那么存在唯一的点属于所有的矩形 2致密性定理:如果序列{M(xn,y)有界,那么从其中必能选取收敛的子列 3有限覆盖定理:若一开矩形集合{4}={a<x<B,y<y<}覆盖一有界闭区域。那么从{△}里,必可选 出有限个开矩形,他们也能覆盖这个区域 4.收敛原理:平面点列{M}有极限的充分必要条件是:对任何给定的E>0,总存在正整数N,当n,m>N 时,有r(M,Mn)<E §2多元函数的极限和连续 多元函数的概念 不论在数学的理论问题中还是在实际问题中,许多量的变化,不只由一个因素决定,而是由多个因素决 定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即A= lysin 6;圆柱体体积 丿由底半径r和高h所决定,即V=mh。这些都是多元函数的例子 般地,有下面定义 定义1设E是R2的一个子集,R是实数集,∫是一个规律,如果对E中的每一点(x,y),通过规律∫, 在R中有唯一的一个a与此对应,则称∫是定义在E上的一个二元函数,它在点(x,y)的函数值是,并记 此值为f(x,y),即u=f(x,y) 有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象。例如,二元函数 R 就是一个上半球面,球心在原点,半径为R,此函数定义域为满足关系式x2+y2≤R2 的x,y全体,即D={(x,y)x2+y2≤R2}。又如,Z=xy是马鞍面 二多元函数的极限 定义2设E是R2的一个开集,A是一个常数,二元函数f(M)=f(x,y)在点M0(x,y)∈E附近有定 义.如果VE>0,彐6>0,当0<r(M,M)<6时,有f(M)-A<E,就称A是二元函数在M0点的 极限。记为1imnf(M)=A或f(M)→>A(M→M) 定义的等价叙述1设E是R2的一个开集,A是一个常数,二元函数f(M)=f(x,y)在点M6(x,)∈E 附近有定义.如果vE>0,36>0,当0≤√x-x)+(y-1)2<6时,有(xy)-4<6,就称A是 13-2《数学分析（1，2，3）》教案 13-2 0 n n b a − → ， 0 n n d c − → ，那么存在唯一的点属于所有的矩形。 2.致密性定理：如果序列 M x y n n n ( , ) 有界，那么从其中必能选取收敛的子列。 3.有限覆盖定理：若一开矩形集合  =          x y ,  覆盖一有界闭区域。那么从  里，必可选 出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。 4．收敛原理：平面点列 M n 有极限的充分必要条件是：对任何给定的   0 ，总存在正整数 N ，当 n m N ,  时，有 r M M ( n m , )   。 §2 多元函数的极限和连续 一 多元函数的概念 不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决 定。例如平行四边行的面积 A 由它的相邻两边的长 x 和宽 y 以及夹角  所确定,即 A = xysin  ;圆柱体体积 V 由底半径 r 和高 h 所决定,即 V r h 2 =  。这些都是多元函数的例子。 一般地，有下面定义： 定义 1 设 E 是 2 R 的一个子集， R 是实数集， f 是一个规律，如果对 E 中的每一点 ( , ) x y ，通过规律 f ， 在 R 中有唯一的一个 u 与此对应，则称 f 是定义在 E 上的一个二元函数，它在点 ( , ) x y 的函数值是 u ，并记 此值为 f x y ( , ) ，即 u f x y = ( , )。 有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数 2 2 2 x = R − x − y 就是一个上半球面，球心在原点，半径为 R ，此函数定义域为满足关系式 2 2 2 x + y  R 的 x， y 全体，即 {( , ) | } 2 2 2 D = x y x + y  R 。又如， Z = xy 是马鞍面。 二 多元函数的极限 定义 2 设 E 是 2 R 的一个开集， A 是一个常数，二元函数 f M f x y ( ) = ( , ) 在点 M x y E 0 0 0 ( , ) 附近有定 义．如果   0，   0 ，当 0 ,   r M M ( 0 )  时，有 f M A ( ) −   ，就称 A 是二元函数在 M0 点的 极限。记为 ( ) 0 lim M M f M A → = 或 f M A M M ( ) → → ( 0 ) 。 定义的等价叙述 1 设 E 是 2 R 的一个开集， A 是一个常数，二元函数 f M f x y ( ) = ( , ) 在点 M x y E 0 0 0 ( , ) 附近有定义．如果   0，  0 ，当 ( ) ( ) 2 2 0 0 0  − + −  x x y y  时，有 f x y A ( , ) −   ，就称 A 是