《数学分析(1,2,3)》教案 二元函数在M0点的极限。记为lmf(M)=A或/(M)→A(M→M) 定义的等价叙述2设E是R2的一个开集,A是一个常数,二元函数/(M)=f(x,y)在点M(x,y)∈E 附近有定义.如果VE>0,36>0,当0<x-x<6,0<y-则<且(x,y)≠(x,y)时,有 (x,y)-4<E,就称A是二元函数在M点的极限。记为1mf(M)=A或/(M)→4(M→M) 注:(1)和一元函数的情形一样,如果Iimf(M)=A,则当M以任何点列及任何方式趋于M0时,f(M) →M 的极限是A;反之,M以任何方式及任何点列趋于M0时,f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某 曲线→M时,f(M)的极限为A,还不能肯定∫(M)在M的极限是A。所以说,这里的“”或“” 要比一元函数的情形复杂得多,下面举例说明。 例:设二元函数f(x,y)= ,讨论在点(0.0)的的二重极限。 例:设二元函数f(x,y)= 讨论在点(0,0)的二重极限是否存在 或 0 例:f(x,y)= 1.其它 讨论该函数的二重极限是否存在 二元函数的极限较之一元函数的极限而言,要复杂得多,特别是自变量的变化趋势,较之一元函数要复 杂 例:lm 例:①mx②m(x2+y2)3m(x2+y2)lm(x2+y2)e-+ →0 例:求f(x,y) x2+在(0,0)点的极限,若用极坐标替换则为m/os2Osm6=0?(注意: 0 coS0+sin 8 c0s30+sin30在O=时为0,此时无界)。 例:(极坐标法再举例):设二元函数f(x,y)=-3),讨论在点(00)的二重极限 x-t 证明二元极限不存在的方法 基本思想:根据重极限定义,若重极限存在,则它沿任何路径的极限都应存在且相等,故若1)某个特殊路 径的极限不存在;或2)某两个特殊路径的极限不等:3)或用极坐标法,说明极限与辐角有关 例:f(x,y)= 在(0,0)的二重极限不存在 13-3《数学分析（1，2，3）》教案 13-3 二元函数在 M0 点的极限。记为 ( ) 0 lim M M f M A → = 或 f M A M M ( ) → → ( 0 ) 。 定义的等价叙述 2 设 E 是 2 R 的一个开集， A 是一个常数，二元函数 f M f x y ( ) = ( , ) 在点 M x y E 0 0 0 ( , ) 附近有定义．如果   0 ，   0 ，当 0 0 0 , 0  −   −  x x y y   且 ( x y x y , , )  ( 0 0 ) 时，有 f x y A ( , ) −   ，就称 A 是二元函数在 M0 点的极限。记为 ( ) 0 lim M M f M A → = 或 f M A M M ( ) → → ( 0 ) 。 注：（1）和一元函数的情形一样，如果 0 lim ( ) M M f M A → = ，则当 M 以任何点列及任何方式趋于 M0 时， f M( ) 的极限是 A ；反之， M 以任何方式及任何点列趋于 M0 时， f M( ) 的极限是 A 。但若 M 在某一点列或沿某 一曲线 → M0 时， f M( ) 的极限为 A ，还不能肯定 f M( ) 在 M0 的极限是 A 。所以说，这里的“”或“” 要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。 例：设二元函数 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ，讨论在点 (0,0) 的的二重极限。 例：设二元函数 2 2 2 ( , ) x y x y f x y + = ，讨论在点 (0,0) 的二重极限是否存在。 例： 2 0, 0 ( , ) 1, x y y f x y   = =   或 其它 ，讨论该函数的二重极限是否存在。 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复 杂。 例： 2 2 lim x xy y x y y x − + + → → 。 例：① x xy y x sin lim 0 0 → → ② lim ( ) ln( ) 2 2 2 2 2 0 0 x y x y y x + + → → ③ 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + → → + 例：求 3 3 2 2 ( , ) x y x y f x y + = 在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为 0? cos sin cos sin lim 3 3 2 2 0 = →  +    r r （注意：   3 3 cos + sin 在 4 7  = 时为０，此时无界）。 例：（极坐标法再举例）：设二元函数 2 2 2 ( , ) x y x y f x y + = ，讨论在点 (0,0) 的二重极限． 证明二元极限不存在的方法． 基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路 径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关． 例： 2 2 ( , ) x y xy f x y + = 在 (0,0) 的二重极限不存在．