《数学分析(1,2,3)》教案 三二元函数的连续性 定义3设f(M)在M点有定义,如果imf(M)=f(M0),则称f(M)在M点连续. “E-6语言”描述:VE>0,彐6>0,当0r(M,M)<8,有(M)-f(M0)<E 如果∫在开集E内每一点连续,则称∫在E内连续,或称∫是E内的连续函数。 例:求函数l=tan(x2+y2)的不连续点 四有界闭区域上连续函数的性质 有界性定理若f(x,y)再有界闭区域D上连续,则它在D上有界 一致连续性定理若∫(x,y)再有界闭区域D上连续,则它在D上一致连续 最大值最小值定理若f(x,y)再有界闭区域D上连续,则它在D上必有最大值和最小值 零点存在定理设D是R”中的一个区域,B0和P是D内任意两点,∫是D内的连续函数,如果f(P)>0, f(P)<0,则在D内任何一条连结P,P的折线上,至少存在一点P,使∫(P)=0。 五二重极限和二次极限 在极限lin∫(x,y)中,两个自变量同时以任何方式趋于x0,yo,这种极限也叫做重极限(二重极限).此 外,我们还要讨论当x,ν先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限.这种极限称为累次极限(二次极限), 其定义如下: 若对任一固定的y,当x→>x0时,f(x,y)的极限存在:lmf(x,y)=(y),而q(y)在y→y0时的 极限也存在并等于A,亦即Imnp(y)=A,那么称A为∫(x,y)先对x,再对y的二次极限,记为 lm lm f(x,y)=A 同样可定义先y后x的二次极限: lim lim f(x,y) x→x0y→y0 上述两类极限统称为累次极限。 注意:二次极限(累次极限)与二重极限(重极限)没有什么必然的联系。 例:(二重极限存在,但两个二次极限不存在).设 xsin-+ sin x≠0,y≠0 f(x, y) y 由f(x,y)≤x+得mf(x,y)=0(两边夹);由lmsn不存在知f(x,y)的累次极限不存在 例:(两个二次极限存在且相等,但二重极限不存在)。设 13-4《数学分析（1，2，3）》教案 13-4 三 二元函数的连续性 定义 3 设 f M( ) 在 M0 点有定义，如果 0 0 lim ( ) ( ) M M f M f M → = ，则称 f M( ) 在 M0 点连续． “ − 语言”描述：         0, 0, , 当0<r(M M0 ) ，有 0 f M f M ( ) ( ) −   。 如果 f 在开集 E 内每一点连续，则称 f 在 E 内连续，或称 f 是 E 内的连续函数。 例：求函数 ( ) 2 2 u x y = + tan 的不连续点。 四 有界闭区域上连续函数的性质 有界性定理 若 f x y ( , ) 再有界闭区域 D −− 上连续，则它在 D −− 上有界。 一致连续性定理 若 f x y ( , ) 再有界闭区域 D −− 上连续，则它在 D −− 上一致连续。 最大值最小值定理 若 f x y ( , ) 再有界闭区域 D −− 上连续，则它在 D −− 上必有最大值和最小值。 零点存在定理 设 D 是 n R 中的一个区域， P0 和 P1 是 D 内任意两点， f 是 D 内的连续函数，如果 f (P0 )  0 ， f (P1 )  0 ，则在 D 内任何一条连结 0 1 P , P 的折线上，至少存在一点 Ps ，使 f (Ps ) = 0。 五 二重极限和二次极限 在极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 中，两个自变量同时以任何方式趋于 0 0 x , y ，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此 外，我们还要讨论当 x, y 先后相继地趋于 0 x 与 0 y 时 f (x, y) 的极限．这种极限称为累次极限（二次极限）， 其定义如下： 若对任一固定的 y ，当 0 x → x 时， f (x, y) 的极限存在： lim ( , ) ( ) 0 f x y y x x = → ,而 ( y) 在 0 y → y 时的 极限也存在并等于 A ，亦即 y A y y = → lim ( ) 0  ，那么称 A 为 f (x, y) 先对 x ，再对 y 的二次极限，记为 f x y A y y x x = → → lim lim ( , ) 0 0 ． 同样可定义先 y 后 x 的二次极限： lim lim ( , ) 0 0 f x y x→x y→y ． 上述两类极限统称为累次极限。 注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。 例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设      = = +   = 0 0 0 0, 0 1 sin 1 sin ( , ) x or y x y x y y x f x y 由 f (x, y)  x + y 得 lim ( , ) 0 0 0 = → → f x y y x （两边夹）;由 y y 1 lim sin →0 不存在知 f (x, y) 的累次极限不存在。 例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设