《数学分析(1,2,3)》教案 f(x,y)=-3,(x,y)≠(0.0) 由mmf(x,y)= lim lim f(x,y)=0知两个二次极限存在且相等。但由前面知lnf(x,y)不存在。 例:(两个二次极限存在,但不相等)。设 f(x,y) (x,y)≠(0,0) 则 lim lim f(x,y)=1, lm lim f(x,y)=-1; lim lim f(x,y)≠ lim lim f(x,y)(不可交换) y→0x0 x→0y0 上面诸例说明:二次极限存在与否和二重极限存在与否,二者之间没有一定的关系。但在某些条件下,它们 之间会有一些联系 定理1设(1)二重极限mf(x,y)=A;(2)y,y≠y,lmnf(x,y)=(y)。则 lm ()=lim lm f(x,y)=A y→1ox→xo (定理1说明:在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在) 推论1设(1)mf(x,y)=A;(2)Vy,y≠y,mf(x,y)存在;(3)x,x≠x0,lmf(x,y) 存在;则 limlim f(x,y), limlim f(x,y)都存在,并且等于二重极限mf(x,y)。 x→x0y→yo 推论2若累次极限 lmlm f(x,y)与 lim lm f(x,y)存在但不相等,则重极限lmf(x,y)必不存在(可 y→10X→x0 y→→y0 用于否定重极限的存在性) 例:求函数f(x,y) 在(0.0)的二次极限和二重极限。 13-5《数学分析（1，2，3）》教案 13-5 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ， (x, y)  (0,0) 由 lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0 0 0 0 0 = = → → → → f x y f x y x y y x 知两个二次极限存在且相等。但由前面知 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在。 例：（两个二次极限存在，但不相等）。设 2 2 2 2 ( , ) x y x y f x y + − ， (x, y)  (0,0) 则 lim lim ( , ) 1 0 0 = → → f x y x y ， lim lim ( , ) 1 0 0 = − → → f x y y x ; lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x→ y→ y→ x→  （不可交换） 上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们 之间会有一些联系。 定理 1 设（1）二重极限 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 ；（2） 0 y, y  y ， lim ( , ) ( ) 0 f x y y x x = → 。则 y f x y A y y y y x x = = → → → lim ( ) lim lim ( , ) 0 0 0  。 （定理 1 说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。 推论 1 设（1） f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 ；（2） 0 y, y  y ， lim ( , ) 0 f x y x→x 存在；（3） 0 x, x  x ， lim ( , ) 0 f x y y→y 存在；则 lim lim ( , ) 0 0 f x y y→y x→x ， lim lim ( , ) 0 0 f x y x→x y→y 都存在，并且等于二重极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 。 推论 2 若累次极限 lim lim ( , ) 0 0 f x y x→x y→y 与 lim lim ( , ) 0 0 f x y y→y x→x 存在但不相等，则重极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x → → 必不存在（可 用于否定重极限的存在性）。 例：求函数 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , x y f x y x y x y = + − 在 (0, 0) 的二次极限和二重极限