第二章极限论 f(x)是g(x)的高阶无穷小量,记作f(x)=o(g(x) 例1:当x→0时,x,snx,tanx都是无穷小,因为 lmx=1.以及lm rlm Sinx 1 所以,当x→0时,x~snx-tanx 例2:当x→>0时 In(\s/lm In(1+x) =he=l lim (令u 1)=lim 所以,当x→>0时,x~h(1+x)~e2-1 例3设a为实数容易验证, ahn(+x)x 所以,当x→>0时,(1+x)2-1~ax 定理:无穷小替换法则:若f(x)~a(x),g(x)~B(x), 若im2存在,则im f(x) =lim x→·f(x) x→·g(x)x→·B(x) 定理:在时在x→>·中,若f(x)和g(x)是无穷小量,则 f(x)-g(x)o f(x)-g(x)=og(x)) f∫(x)~g(x)分f(x)=g(x)+o(g(x)。 定义:若在x→0时,f(x)~x,f(x)=x4+o(x2),则称 f(x)是x→0时的k阶无穷小量。 (1)Snx-x分Six=x+o(x) (2)tanx-x tan x=x+o(x) (3)arcsin x-x arcs x=x+o(x) (4)e2-1~x分e2=1+x+o(x) (5)ln(1+x)~xh(1+x)=x+o(x) (6)(+x)y-1~x(+x)y=1+ax+o(x) (7)1-cosx Cosx=1- 第二章极限论第二章 极限论 第二章 极限论f (x) 是 g(x) 的高阶无穷小量, 记作 f (x) = o(g(x)) . 例１: 当 x →0 时, x,sin x,tan x 都是无穷小, 因为 1 sin lim 0 = → x x x ,以及 1 cos sin 1 lim tan lim 0 0 = = → → x x x x x x x , 所以, 当 x →0 时, x  sin x  tan x . 例 2: 当 x →0 时, lim ln(1 ) ln 1 ln(1 ) lim 1 0 0 = + = = + → → x e x x x x x 1 ln(1 ) ( 1) lim 1 lim 0 0 = + = = − = − → → u u u e x e u x x x 令 所以, 当 x →0 时, x  ln(1+ x) −1 x e . 例 3 设  为实数,容易验证, ( ) x e x x x x x 1 lim (1 ) 1 lim ln 1 0 0 − = + − + → →   = ( ) ( ) ( ) x x x e x x + + − + → ln 1 ln 1 1 lim ln 1 0    = 所以, 当 x →0 时, x  x  (1+ ) −1 ~ ;. 定理：无穷小替换法则：若 f (x) ~(x) , g(x) ~ (x) , 若 ( ) ( ) lim x x x   →• 存在, 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim x x g x f x x x   →• →• = 定理：在时在 x →• 中, 若 f (x) 和 g(x) 是无穷小量，则 f (x) ~ g(x)  f (x) − g(x) = o(g(x)) f (x) ~ g(x)  f (x) = g(x) + o(g(x)) 。 定义: 若在 x →0 时， k f (x) ~ x , ( ) ( ) k k f x = x + o x , 则称 f (x) 是 x →0 时的 k 阶无穷小量.。 (1) sin x  x  Sin x = x + o(x) ; (2) tan x ~ x  tan x = x + o(x) (3) arcsin x ~ x  arcsin x = x + o(x) (4) e 1 ~ x e 1 x o(x) x x −  = + + (5) ln(1+ x) ~ x  ln(1+ x) = x + o(x) (6) (1+ x) −1 ~ x  (1+ x) = 1+ x + o(x)   (7) 1−cos x 2 2 x  ( ) 2 1 2 2 o x x Cos x = − +