2/(x32n-对+21x-0sn(2n=mh 2∫[(x)+f(x-)]sn(2n-1)1x=0, 所以 ∫(x)+f(-x)=0, 于是f(x)可以按下面方式进行延拓 f(丌+x)x∈(-丌-) x∈(一 f(x) x∈(0 f(x-x)x∈(,丌) 10.设周期为2x的函数f(x)在[-元,7上的 Fourier系数为an和bn,求下 列函数的 Fourier系数an和b (1)g(x)=f(-x); (2)H(x)=f(x+C)(C是常数); (3)F(x)=O)(x-0d(假定积分顺序可以交换)。 解(1)an= z.g(x)cos ndx (令 f(cos ntdx 所以 an=an(n=0,1,2,…), g(r)sin ndx f(- r)sin ndx(令=-x) f(osin ntdx 所以 (2)因为x+C∈[-n,x],所以x∈[-n-C,z-C][ ] [ ] 2 2 0 0 2 2 f ( ) x n sin (2 1)x dx f ( t)sin (2n 1)t π π π π π = − + − ∫ ∫ − dt [ ] [ ] 2 0 2 f ( ) x f ( x) sin (2n 1)x π π π = + − − ∫ dx = 0 , 所以 f x( ) + − f (π x) = 0 ， 于是 f x( )可以按下面方式进行延拓 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − ∈ ∈ − − ∈ − + ∈ − − = , ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (0, ,0) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( ) ~ π π π π π π π π f x x f x x f x x f x x f x 。 ⒑ 设周期为2π 的函数 f x( )在[ , −π π]上的 Fourier 系数为a 和 ，求下 列函数的 Fourier 系数 和 n bn ~an ~ bn： ⑴ g x( ) = f (−x); ⑵ h x( ) = f (x + C) (C 是常数)； ⑶ ∫− = − π π π F x f (t) f (x t)dt 1 ( ) （假定积分顺序可以交换）。 解（1） n a = 1 1 g( ) x cos nxdx f ( x) cos nxdx π π π π − − π π = − ∫ ∫ （令t = −x ） 1 f ( )t cos ntd π π −π = ∫ x ， 所以 an = an ~ (n = 0,1,2,")， n b =  1 1 g( ) x sin nxdx f ( x)sin nxdx π π π π − − π π = − ∫ ∫ （令t = −x ） 1 f ( )t sin ntd π π −π = − ∫ x， 所以 bn = −bn ~ (n = 1,2,")。 （2）因为 x C+ ∈[ , −π π ]，所以 x∈[ , − − π C π −C]。 9