这里min是对一切X的可测函数LX)取极小。由于当 M(X=E(rX) 时,容易证明 ELY-MOXJIM(X)-L(XJ=0 (41.5) 故当M(X)=E(Y|X)时 ElY -L(X=ElY-M(X]+ELM(X-L(XI (41.6) 要使上式左边极小,只有取L(X)=M(X)=E(|X) 这个结果告诉我们,预测函数取作条件期望E(Y时,可使预测误差最小。我们还可以证 明,此时M()=E(YX与Y具有最大相关,即 p(r, M(X))=max P(Y, L(X) (4.1.7) 这里p表示相关系数 这是因为当M(X)=E(H|X)时,易证Cov(,L(X)=Cov(M(X),L(X),同时 Cov(Y,M(X)=Cov(M(X),M(x),于是 Cov (r, L(X)) Cov(M,L(X)) D2=(,L(X) D(YDLL(] D(YDIL(X) Cov(M(X,L(X)) DIM(XI DIM(XI DIM(XJDILOX D(Y) DIM(X) P(M(X), L(X).P(Y,M(D) P(,M(X) 等号当且仅当 p(M(X),L(X)=1 (4.1.8) 时成立,此时L(X是M(X)的线性函数 (41.3)与(4.1.7表达了M(X)=E(Y|X)的极好性质,我们称 Y=MOX=E(rX) (4.1.9) 为Y关于X的回归曲线。 上面的L(X)可取一切函数。如果限定L(X是X的线性函数,即要限定2 这里 min 是对一切 X 的可测函数 L(X)取极小。由于当 M (X ) = E(Y | X ) （4.1.4） 时，容易证明 E[Y − M (X )][M (X ) − L(X )] = 0 （4.1.5） 故当 M (X ) = E(Y | X ) 时， 2 2 2 E[Y − L(X)] = E[Y − M(X)] + E[M(X) − L(X)] （4.1.6） 要使上式左边极小，只有取 L(X ) = M (X ) = E(Y | X )。 这个结果告诉我们，预测函数取作条件期望 E(Y|X)时，可使预测误差最小。我们还可以证 明，此时 M(X)=E(Y|X)与 Y 具有最大相关，即 ( , ( )) max ( , ( )) L  Y M X =  Y L X （4.1.7） 这里ρ表示相关系数。 这是 因为 当 M (X ) = E(Y | X ) 时 ， 易证 Cov(Y, L(X )) = Cov(M (X ), L(X )) , 同 时 Cov(Y,M (X )) = Cov(M (X ), M (X )),于是 ( , ( )) ( ( ), ( )) ( , ( )) [ ( )] [ ( )] ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] Cov ( ( ), ( )) ( ) [ ( )] Cov ( , ( )) ( ) [ ( )] Cov ( , ( )) ( , ( )) 2 2 2 2 2 2 2 Y M X M X L X Y M X D M X D M X D Y D M X D M X D L X M X L X D Y D L X M L X D Y D L X Y L X Y L X      =  =   = = = 等号当且仅当 | (M (X ), L(X )) |= 1 （4.1.8） 时成立，此时 L(X)是 M(X)的线性函数。 (4.1.3)与(4.1.7)表达了 M (X ) = E(Y | X ) 的极好性质，我们称 Y = M (X ) = E(Y | X ) （4.1.9） 为 Y 关于 X 的回归曲线。 上面的 L(X)可取一切函数。如果限定 L(X)是 X 的线性函数，即要限定