第四章方差分量线性回归模型 本章考虑的线性模型不仅有固定效应、随机误差,而且有随机效应。我们先从随机效应 角度理解回归概念,导出方差分量模型,然后硏究模型三种主要解法。最后本章介绍关于方差 分量模型的两个前沿研究成果,是作者近期在《应用数学学报》与国际数学杂志 《 Communications in statistics》上发表的。 第一节随机效应与方差分量模型 随机效应回归模型 前面所介绍的回归模型不仅都是线性的,而且自变量看作是固定效应。我们从资料对 {Y,X1,…Xm}出发建立回归模型,过去一直是把Y看作随机的,X,…,X看作非随机的。 但是实际上,自变量也经常是随机的,而并不是我们可以事先设计好的设计矩阵。我们把自变 量也是随机变量的回归模型称为随机效应回归模型。 究竟一个回归模型的自变量是随机的还是非随机的,要视具体情况而定。比如一般情况下 消费函数可写为 C=Co+b(r (4.1.1) 这里X是居民收入,T是税收,Co是生存基本消费,b是待估系数。加上随机扰动项,就是一 元线性回归模型 C=Co+b(x-T)+8 (4.1.2) 那么自变量到底是固定效应还是随机效应?那要看你采样情况。如果你是按一定收入的家庭去 调查他的消费,那是取设计矩阵,固定效应。如果你是随机抽取一些家庭,不管他收入如何都 登记他的收入与消费,那就是随机效应。 对于随机效应的回归模型,我们可以从条件期望的角度推导出与最小二乘法则等价的回归 函数 我们希望通过X预测Y,也就是要寻找一个函数Y=M(X)=M(X1,…,X),当X的 观察值为x时,这个预测的误差平均起来应达到最小,即 Elr -M(X=min ETY-L() (4.1.3)1 第四章 方差分量线性回归模型 本章考虑的线性模型不仅有固定效应、随机误差，而且有随机效应。我们先从随机效应 角度理解回归概念，导出方差分量模型，然后研究模型三种主要解法。最后本章介绍关于方差 分量模型的 两个前沿 研究成 果，是作 者近期在 《应用 数学学报 》与国际 数学杂志 《Communications in Statistics》上发表的。 第一节 随机效应与方差分量模型 一、随机效应回归模型 前面所介绍的回归模型不仅都是线性的，而且自变量看作是固定效应。我们从资料对 n Yi X1i X pi 1 { , ,  } 出发建立回归模型，过去一直是把 Y 看作随机的，X1，…，Xp 看作非随机的。 但是实际上，自变量也经常是随机的，而并不是我们可以事先设计好的设计矩阵。我们把自变 量也是随机变量的回归模型称为随机效应回归模型。 究竟一个回归模型的自变量是随机的还是非随机的，要视具体情况而定。比如一般情况下 消费函数可写为 ( ) C = C0 + b X −T （4.1.1） 这里 X 是居民收入，T 是税收，C0 是生存基本消费，b 是待估系数。加上随机扰动项，就是一 元线性回归模型 = + ( − ) +  C C0 b X T （4.1.2） 那么自变量到底是固定效应还是随机效应?那要看你采样情况。如果你是按一定收入的家庭去 调查他的消费，那是取设计矩阵，固定效应。如果你是随机抽取一些家庭，不管他收入如何都 登记他的收入与消费，那就是随机效应。 对于随机效应的回归模型，我们可以从条件期望的角度推导出与最小二乘法则等价的回归 函数。 我们希望通过 X 预测 Y，也就是要寻找一个函数 ( ) ( , , ) Y = M X = M X1  X p ，当 X 的 观察值为 x 时，这个预测的误差平均起来应达到最小，即 2 2 E[Y M (X )] min E[Y L(X )] L − = − （4.1.3）