习题9.3正项级数 讨论下列正项级数的敛散性 4 n=n+1 in+3n ∑n Inn (5)∑ (8)∑(n-1) 00∑ D∑n2 2"n 03∑(√n2+1-n2-1) 40∑(2n-y 5∑ln 6∑(-ln n (a>0) m(1+a)(1+a2)…(1+a") 解(1)因为4~4(m→∞),由于∑收敛,所以∑4n收敛 (2)因为 2(n→∞),由于∑2发散,所以 发散 (3)因为>1,由于∑发散,所以 发散。 (4)因为当n≥4有1<,由于∑↓收敛,所以∑收敛 n (5)因为<一,由于收敛,所以∑收敛 n (6) 2sin' (n→∞) 由于立石收,所以∑(-收数习 题 9. 3 正项级数 1. 讨论下列正项级数的敛散性： ⑴ ∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n ; ⑶ ∑ ∞ =2 2 ln 1 n n ; ⑷ ∑ ∞ =1 ! 1 n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 2 ln n n n ; ⑹ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π ; ⑺ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑻ ( 1) 1 ∑ − ∞ n= n n ; ⑼ ∑ ∞ =1 2 n 2n n ; ⑽ ∑ ∞ = + + − 1 2 1 2 [2 ( 1) ] n n n n ; ⑾ ∑ ∞ = − 1 2 e n n n ; ⑿ ∑ ∞ =1 2 ! n n n n n ; ⒀ ∑ ∞ = + − − 1 2 2 ( 1 1) n n n ; ⒁ ∑ ∞ = − + − − 1 2 2 (2 1 1) n n n n ; ⒂ ∑ ∞ = − + 2 2 2 1 1 ln n n n ; ⒃ ( ln cos ) 3 ∑ ∞ = − n n π ; ⒄ ∑ ∞ =1 + + + 2 n (1 )(1 ) (1 ) n n a a a a " (a＞0)。 解（1）因为 1 4 4 n + n ～ 3 4 n (n → ∞)，由于 ∑ ∞ =1 3 4 n n 收敛，所以∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n 收敛。 （2）因为 n n n 3 2 3 2 + ～ n 2 (n → ∞)，由于∑ ∞ =1 2 n n 发散，所以∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n 发散。 （3）因为 n n 1 ln 1 2 > ，由于 ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以∑ ∞ =2 2 ln 1 n n 发散。 （4）因为当n ≥ 4有 2 1 ! 1 n n < ，由于 ∑ ∞ =1 2 1 n n 收敛，所以∑ ∞ =1 ! 1 n n 收敛。 （5）因为 n n n ln n 1 2 < ，由于 ∑ ∞ =1 1 n n n 收敛，所以∑ ∞ =1 2 ln n n n 收敛。 （6） n 2n 1 cos 2sin π 2 π − = ～ 2 2 2n π (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 n 2n π 收敛，所以∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π 收敛。 1